Tensor żyracji

Tensor żyracji jest tensorem opisującym drugi moment, który opisuje pozycję zbioru cząstek lub cząstek elementarnych.

$S_{mn}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}r_{m}^{(i)}r_{n}^{(i)},$

gdzie $r_{m}^{(i)}$ jest $\mathrm {m^{ta}}$ współrzędną kartezjańską wektora pozycyjnego $\mathbf {r} ^{(i)}$ $\mathrm {i^{tej}}$ cząstki.

Początek układu współrzędnych został dobrany tak aby został spełniony następujący warunek:

$\sum _{i=1}^{N}\mathbf {r} ^{(i)}=0,$

co oznacza, że system posiada centrum masy $r_{CM},$ zdefiniowane w sposób następujący:

$r_{CM}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\mathbf {r} ^{(i)}.$

W układzie ciągłym tensor żyracji jest zapisywany jako:

$S_{mn}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int d\mathbf {r} \ \rho (\mathbf {r} )\ r_{m}r_{n},$

gdzie $\rho (\mathbf {r} )$ reprezentuje gęstość cząstek w zadanym położeniu $\mathbf {r} .$

Pomimo że, tensor żyracji oraz tensor momentu bezwładności wyrażone są za pomocą odmiennych jednostek to wykazują one istotne podobieństwo. Kluczową różnicą jest nadanie masy każdej z cząstek opisywanych za pomocą tensora momentu bezwładności podczas gdy wartość tensora żyracji zależy jedynie od położenia cząstek a masa nie odgrywa żadnego znaczenia. Dlatego też w przypadku gdy wszystkie cząstki w opisywanym układzie mają taką samą masę to obydwa tensory są do siebie proporcjonalne.

Diagonalizacja

Ponieważ tensor żyracji stanowi symetryczną macierz kwadratową o rozmiarze 3x3, to kartezjański układ współrzędnych może być wyznaczona w oparciu o część diagonalną macierzy.

$\mathbf {S} ={\begin{bmatrix}\lambda _{x}^{2}&0&0\\0&\lambda _{y}^{2}&0\\0&0&\lambda _{z}^{2}\end{bmatrix}},$

gdzie osie są dobrane w taki sposób aby elementy diagonalne były uporządkowane w sposób następujący:

$\lambda _{x}^{2}\leqslant \lambda _{y}^{2}\leqslant \lambda _{z}^{2}.$

Opisane elementy diagonalne są zwyczajowo nazywane „momentami głównymi” tensora żyracji.

Parametry opisujące kształt cząsteczki

Momenty główne tensora żyracji mogą posłużyć do wyrażenia kilku parametrów opisujących rozmieszczenie cząsteczek; podniesiony do kwadratu promień żyracji jest sumą momentów głównych

$R_{g}^{2}=\lambda _{x}^{2}+\lambda _{y}^{2}+\lambda _{z}^{2}.$

Asferyczność $b$ jest definiowana w sposób następujący:

$b\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \lambda _{z}^{2}-{\frac {1}{2}}\left(\lambda _{x}^{2}+\lambda _{y}^{2}\right).$

Wielkość ta jest zawsze dodatnia, przyjmuje wartość zerową jedynie gdy wszystkie momenty główne są równe, λ_x = λ_y = λ_z. Jest to osiągane gdy rozmieszczenie cząstek w przestrzeni jest sferyczne (stąd też wywodzi się nazwa tego parametru), lub też gdy rozmieszczenie cząstek jest symetryczne względem wszystkich osi w układzie – przykładowo cząsteczki są rozmieszczone na podobieństwo sześcianu, tetraedru lub innej bryły platońskiej.

W podobny sposób acylindryczność $c$ jest definiowana jako:

$c\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \lambda _{y}^{2}-\lambda _{x}^{2}.$

Wielkość ta ma zawsze wartość dodatnią, przyjmuje wartość zerową tylko gdy dwa momenty główne są równe, λ_x = λ_y. Warunek ten jest spełniony gdy rozmieszczenie cząstek jest cylindrycznie symetryczne (stąd pochodzi miano parametru). Jednakże w sytuacji, gdy rozmieszczenie cząstek jest symetryczne względem dwóch osi układu współrzędnych acylindryczność także równa się zeru.

Natomiast względna anizotropia kształtu $\kappa ^{2}$ jest definiowana jako:

$\kappa ^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {b^{2}+(3/4)c^{2}}{R_{g}^{4}}}.$

Parametr ten przyjmuje wartości w zakresie od zera do jeden.

Przypisy

• Mattice WL, Suter UW: Conformational Theory of Large Molecules. Wiley Interscience, 1994.brak strony w książce ISBN 0-471-84338-5.
• Theodorou DN, Suter UW. Shape of Unperturbed Linear Polymers: Polypropylene. „Macromolecules”, s. 1206–1214, 1985. DOI: 10.1021/ma00148a028.