Test t Welcha

Test t Welcha – test statystyczny równości wartości oczekiwanych w dwóch populacjach. Jest uogólnieniem testu t Studenta na populacje o różnych wariancjach. Stanowi przybliżone rozwiązanie problemu Behrensa-Fishera.

Wzory na t, ν

Test t Welcha stosuje następującą statystykę t:

$t={\frac {{\overline {X}}_{1}-{\overline {X}}_{2}}{\sqrt {{\frac {s_{1}^{2}}{N_{1}}}+{\frac {s_{2}^{2}}{N_{2}}}}}},$

gdzie:

• ${\overline {X}}_{i}$ – średnia w i-tej próbie,
• $s_{i}^{2}$ – wariancja w i-tej próbie,
• $N_{i}$ – liczność i-tej próby.

Liczba stopni swobody $\nu$ związana z tą estymatą wariancji jest przybliżana za pomocą równania Welcha-Satterthwaite’a:

$\nu ={\frac {\left({\frac {s_{1}^{2}}{N_{1}}}+{\frac {s_{2}^{2}}{N_{2}}}\right)^{2}}{{\frac {s_{1}^{4}}{N_{1}^{2}\cdot \nu _{1}}}+{\frac {s_{2}^{4}}{N_{2}^{2}\cdot \nu _{2}}}}}.$

Wiąże się to z faktem, iż liczba stopni swobody związana z estymatą wariancji i-tej próby:

$\nu _{i}=N_{i}-1.$

Test statystyczny

Hipoteza zerowa zwykle zakłada równość dwóch średnich w dwóch populacjach ($\mu _{1}=\mu _{2}$), co jest równoznaczne stwierdzeniu, że różnica pomiędzy tymi średnimi wynosi zero. Hipoteza alternatywna może przyjąć formę dwustronną $\mu _{1}\neq \mu _{2}$ lub formę jednostronną: lewostronną ($\mu _{1}<\mu _{2}$) lub prawostronną ($\mu _{1}>\mu _{2}$). Tak jak w innych podobnych testach, w zależności od formy hipotezy alternatywnej oraz przyjętego poziomu istotności $\alpha$ wyznacza się obszar krytyczny lub wartość p. Zakłada się, szczególnie w przypadku małych prób, że rozkłady w obu populacjach są w przybliżeniu normalne.

Po obliczeniu wartości t można, stosując rozkład t-Studenta o wyliczonej liczbie stopni swobody $\nu ,$ sprawdzić, czy otrzymana statystyka znajduje się w obszarze krytycznym (lub czy wartość p jest niższa od założonego poziomu istotności) i odrzucić lub stwierdzić brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.

Bibliografia

• (ang.) B.L. Welch. The generalization of „student’s” problem when several different population variances are involved. „Biometrika”. Vol. 34, s. 28–35, 1947. 
• (ang.) http://biol10.biol.umontreal.ca/BIO2041e/Correction_Welch.pdf