Rozkład Studenta (rozkład t lub rozkład t-Studenta) – ciągły rozkład prawdopodobieństwa stosowany często w statystyce w procedurach testowania hipotez statystycznych i przy ocenie niepewności pomiaru. Przy opracowaniu wyników pomiarów często powstaje zagadnienie oszacowania przedziału, w którym leży, z określonym prawdopodobieństwem, rzeczywista wartość mierzona, jeśli dysponujemy tylko wynikami n pomiarów, dla których możemy wyznaczyć takie parametry, jak średnia i odchylenie standardowe lub wariancja („z próby”), nie znamy natomiast odchylenia standardowego w populacji. Zagadnienie to rozwiązał w 1908 r. William Sealy Gosset (pseudonim Student) podając funkcję zależną od wyników pomiarów a niezależną od

Rozkład t-Studenta
Gęstość prawdopodobieństwa
Ilustracja
Dystrybuanta
Ilustracja
Parametry stopni swobody (liczba rzeczywista)
Nośnik
Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
gdzie jest funkcją hipergeometryczną
Wartość oczekiwana (średnia) w przeciwnym wypadku nieokreślona
Mediana
Moda
Wariancja w przeciwnym wypadku nieokreślona
Współczynnik skośności
Kurtoza
Entropia
Funkcja tworząca momenty (nieokreślona)
Odkrywca William Sealy Gosset (1908)

DefinicjaEdytuj

Rozkład Studenta z   stopniami swobody jest rozkładem zmiennej losowej   postaci:

 

gdzie:

  •   jest zmienną losową mającą standardowy rozkład normalny  
  •   jest zmienną losową o rozkładzie chi kwadrat o   stopniach swobody,
  •   i  niezależne.

Gęstość prawdopodobieństwaEdytuj

Zmienna losowa   określona powyżej ma gęstość prawdopodobieństwa opisaną wzorem:

 

gdzie   to funkcja gamma.

Dowód. Niech   i   będą takie jak wyżej. Zmienna   ma rozkład chi o   stopniach swobody, a więc gęstość   wyraża się wzorem

 

Rozważmy zmienną

 

Wówczas

 

a zatem całkując przez podstawienie and obserwujemy, że

 

Zmienna   ma zatem rozkład   Jej gęstość jest więc postaci

 

Niech   Wówczas powyższa całka przyjmuje postać

 

Gęstość   rozkładu Gamma wyraża się wzorem

 

Oznacza to, że

 

a stąd

 

Ostatecznie

 

WłasnościEdytuj

Powyższy wzór określa całą rodzinę rozkładów prawdopodobieństwa zależną od parametru   – liczby stopni swobody rozkładu Studenta. Rozkłady te są symetryczne, jednomodalne, dla dużych wartości   zmierzają do standardowego rozkładu normalnego   Dla małych   różnią się jednak od rozkładu normalnego: rozkład Studenta o   stopniach swobody ma skończone momenty tylko do rzędu   w szczególności dla   rozkład Studenta jest identyczny z rozkładem Cauchy’ego i nie posiada żadnych skończonych momentów (nie istnieje nawet wartość średnia).

Własności te ilustruje poniższy wykres przedstawiający gęstości rozkładu Studenta dla kilku wartości liczby stopni swobody   w zestawieniu z gęstością standardowego rozkładu normalnego  

ZastosowaniaEdytuj

Zastosowania rozkładu Studenta w metrologii i statystyce opierają się w większości na następujących dwóch twierdzeniach:

  1. Niech zmienne losowe   mają jednakowy rozkład prawdopodobieństwa, który jest rozkładem normalnym o średniej   i wariancji   oraz niech zmienna   będzie określona wzorem:
     
    gdzie   jest wartością średnią z próby, zaś  odchyleniem standardowym z próby.
    Wówczas zmienna   ma rozkład t-Studenta o   stopniach swobody (niezależny od wartości wariancji w populacji  ).
  2. Jeżeli dwie próby o liczebnościach   oraz   wartościach średnich   oraz   i wariancjach wyznaczonych z próby   oraz   zostały wylosowane z populacji mających taki sam rozkład normalny, to zmienna   określona wzorem:
     
    ma rozkład t-Studenta o   stopniach swobody.

Rozkład t jest stosowany w estymacji przedziałowej, w testach parametrycznych, w szczególności dla wartości średnich i dla wariancji oraz w testach istotności parametrów statystycznych – gdy mamy do czynienia z próbami małymi (najczęściej arbitralnie przyjmuje się, że próba jest mała gdy jej liczebność  ).

W metrologii rozkład Studenta wykorzystywany jest m.in. przy estymacji odchylenia standardowego (dla pojedynczego pomiaru oraz wartości oczekiwanej). Dla dużych prób (n > 30) praktycznie pokrywa się z rozkładem normalnym, dla mniejszych estymator odchylenia należy pomnożyć przez wartość krytyczną rozkładu Studenta dla liczby stopni swobody   i przyjętego poziomu istotności  

Najczęściej potrzebne są w zastosowaniach kwantyle rozkładu Studenta, to znaczy takie wartości   że   lub   Wartości te podają tablice rozkładu t-Studenta.



BibliografiaEdytuj

  • Zieliński R., Tablice statystyczne, PWN, Warszawa 1972.

Linki zewnętrzneEdytuj