Rozkład Studenta

ciągły rozkład prawdopodobieństwa

Rozkład Studenta, rozkład t Studenta, rozkład tciągły rozkład prawdopodobieństwa stosowany często w statystyce w procedurach testowania hipotez statystycznych i przy ocenie niepewności pomiaru. Przy opracowaniu wyników pomiarów często powstaje zagadnienie oszacowania przedziału, w którym leży, z określonym prawdopodobieństwem, rzeczywista wartość mierzona, jeśli dysponujemy tylko wynikami n pomiarów, dla których możemy wyznaczyć takie parametry, jak średnia i odchylenie standardowe lub wariancja („z próby”), nie znamy natomiast odchylenia standardowego w populacji. Zagadnienie to rozwiązał w 1908 r. William Sealy Gosset (pseudonim Student) podając funkcję zależną od wyników pomiarów a niezależną od

Rozkład Studenta, rozkład t Studenta
Gęstość prawdopodobieństwa
Ilustracja
Dystrybuanta
Ilustracja
Parametry

stopni swobody (liczba rzeczywista)

Nośnik

Gęstość prawdopodobieństwa

Dystrybuanta


gdzie jest funkcją hipergeometryczną

Wartość oczekiwana (średnia)

w przeciwnym wypadku nieokreślona

Mediana

Moda

Wariancja

w przeciwnym wypadku nieokreślona

Współczynnik skośności

Kurtoza

Entropia

Funkcja tworząca momenty

(nieokreślona)

Odkrywca

William Sealy Gosset (1908)

DefinicjaEdytuj

Rozkład Studenta z   stopniami swobody jest rozkładem zmiennej losowej   postaci:

 

gdzie:

  •   jest zmienną losową mającą standardowy rozkład normalny  
  •   jest zmienną losową o rozkładzie chi kwadrat o   stopniach swobody
  •   i  niezależne.

Gęstość prawdopodobieństwaEdytuj

Zmienna losowa   określona powyżej ma gęstość prawdopodobieństwa opisaną wzorem:

 

gdzie   to funkcja gamma.

Dowód. Niech   i   będą takie jak wyżej. Zmienna   ma rozkład chi o   stopniach swobody, a więc gęstość   wyraża się wzorem

 

Rozważmy zmienną

 

Wówczas

 

a zatem całkując przez podstawienie obserwujemy, że

 

Zmienna   ma zatem rozkład   Jej gęstość jest więc postaci

 

Niech   Wówczas powyższa całka przyjmuje postać

 

Gęstość   rozkładu gamma wyraża się wzorem

 

Oznacza to, że

 

a stąd

 

Ostatecznie

 

WłasnościEdytuj

Powyższy wzór określa całą rodzinę rozkładów prawdopodobieństwa zależną od parametru   – liczby stopni swobody rozkładu Studenta. Rozkłady te są symetryczne, jednomodalne, dla dużych wartości   zmierzają do standardowego rozkładu normalnego   Dla małych   różnią się jednak od rozkładu normalnego: rozkład Studenta o   stopniach swobody ma skończone momenty tylko do rzędu   w szczególności dla   rozkład Studenta jest identyczny z rozkładem Cauchy’ego i nie posiada żadnych skończonych momentów (nie istnieje nawet wartość średnia).

Własności te ilustruje poniższy wykres przedstawiający gęstości rozkładu Studenta dla kilku wartości liczby stopni swobody   w zestawieniu z gęstością standardowego rozkładu normalnego  

ZastosowaniaEdytuj

Zastosowania rozkładu Studenta w metrologii i statystyce opierają się w większości na następujących dwóch twierdzeniach:

  1. Niech zmienne losowe   mają jednakowy rozkład prawdopodobieństwa, który jest rozkładem normalnym o średniej   i wariancji   oraz niech zmienna   będzie określona wzorem:
     
    gdzie   jest wartością średnią z próby, zaś  odchyleniem standardowym z próby.
    Wówczas zmienna   ma rozkład Studenta o   stopniach swobody (niezależny od wartości wariancji w populacji  ).
  2. Jeżeli dwie próby o liczebnościach   oraz   wartościach średnich   oraz   i wariancjach wyznaczonych z próby   oraz   zostały wylosowane z populacji mających taki sam rozkład normalny, to zmienna   określona wzorem:
     
    ma rozkład Studenta o   stopniach swobody.

Rozkład t jest stosowany w estymacji przedziałowej, w testach parametrycznych, w szczególności dla wartości średnich i dla wariancji oraz w testach istotności parametrów statystycznych – gdy mamy do czynienia z próbami małymi (najczęściej arbitralnie przyjmuje się, że próba jest mała gdy jej liczebność  ).

W metrologii rozkład Studenta wykorzystywany jest m.in. przy estymacji odchylenia standardowego (dla pojedynczego pomiaru oraz wartości oczekiwanej). Dla dużych prób (n > 30) praktycznie pokrywa się z rozkładem normalnym, dla mniejszych estymator odchylenia należy pomnożyć przez wartość krytyczną rozkładu Studenta dla liczby stopni swobody   i przyjętego poziomu istotności  

Najczęściej potrzebne są w zastosowaniach kwantyle rozkładu Studenta, to znaczy takie wartości   że   lub   Wartości te podają tablice rozkładu Studenta.

BibliografiaEdytuj

  • Zieliński R., Tablice statystyczne, PWN, Warszawa 1972.

Linki zewnętrzneEdytuj