Funkcja tworząca momenty

Funkcja tworząca (generująca) momenty zmiennej losowej jest zdefiniowana wzorem

Używając teorii związanej z funkcją tworzącą momenty, wyprowadza się wiele oszacowań w rachunku prawdopodobieństwa. Klasyczną nierównością, w której występuje funkcja tworząca momenty, jest nierówność Chernoffa.

Funkcja nazywana jest funkcją generującą kumulanty. Kumulanty zmiennej losowej to wielkości spełniające własność:

WłasnościEdytuj

Funkcji tworzącej momenty można użyć, by obliczyć dowolny moment zmiennej losowej. Gdy rozwiniemy funkcję tworzącą momenty w szereg Taylora, otrzymamy:

 

Jeśli zróżniczkujemy całe wyrażenie  -krotnie po   i podstawimy   otrzymamy  -ty moment zmiennej losowej  

Przykład: Załóżmy, że chcemy obliczyć wartość oczekiwaną (pierwszy moment) zmiennej losowej   o rozkładzie Poissona z parametrem   Funkcja generująca momenty dla rozkładu Poissona to

 

Gdy policzymy pierwszą pochodną po   otrzymamy

 

Teraz, gdy podstawimy   otrzymamy:

 

Inna własność jest następująca: jeśli

 

jest sumą   niezależnych zmiennych losowych (  to stałe), to funkcją generującą momenty dla   jest:

 

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj