Kumulanta

Kumulanta to pojęcie z zakresu teorii prawdopodobieństwa i statystyki.

Kumulantami $\kappa _{n}$ rozkładu prawdopodobieństwa nazywamy wielkości spełniające własność:

E\left(e^{tX}\right)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }\kappa _{n}t^{n}/n!\right),

gdzie $X$ jest zmienną losową, dla rozkładu prawdopodobieństwa której obliczane są kumulanty. Innymi słowy, ${\frac {\kappa _{n}}{n!}}$ jest $n$ -tym współczynnikiem w rozwinięciu w szereg potęgowy logarytmu funkcji generującej momenty. Logarytm funkcji generującej momenty nazywany jest funkcją generującą kumulanty.

Problem kumulant to próba uzyskania funkcji gęstości rozkładu prawdopodobieństwa z jego ciągu kumulant. W niektórych przypadkach rozwiązanie problemu nie istnieje, w niektórych istnieje dokładnie jedno rozwiązanie, w niektórych więcej niż jedno rozwiązanie.

Niektóre własności kumulant

Niezmienniczość

Zachodzą następujące własności:

$\kappa _{1}(X+c)=\kappa _{1}(X)+c,$
$\kappa _{n}(X+c)=\kappa _{n}(X)$ dla $n\geqslant 2,$

gdzie $c$ jest stałą.

Oznacza to, że stałą dodajemy tylko do pierwszej kumulanty, wyższe kumulanty pozostają niezmienione.

Jednorodność

Kumulanty są jednorodne stopnia n, to znaczy:

\kappa _{n}(cX)=c^{n}\kappa (X).

Addytywność

Jeśli $X$ i $Y$ są niezależnymi zmiennymi losowymi, zachodzi:

\kappa _{n}(X+Y)=\kappa _{n}(X)+\kappa _{n}(Y).

Kumulanty i momenty

Kumulanty są powiązane z momentami następującą zależnością:

\kappa _{n}=m_{n}-\sum _{k=1}^{n-1}{n-1 \choose k-1}\kappa _{k}m_{n-k}.

$n$ -ty moment zwykły $m_{n}$ jest wielomianem $n$ -tego stopnia w pierwszych $n$ kumulantach, zatem:

m_{1}=\kappa _{1}

m_{2}=\kappa _{2}+\kappa _{1}^{2}

m_{3}=\kappa _{3}+3\kappa _{2}\kappa _{1}+\kappa _{1}^{3}

m_{4}=\kappa _{4}+4\kappa _{3}\kappa _{1}+3\kappa _{2}^{2}+6\kappa _{2}\kappa _{1}^{2}+\kappa _{1}^{4}

m_{5}=\kappa _{5}+5\kappa _{4}\kappa _{1}+10\kappa _{3}\kappa _{2}+10\kappa _{3}\kappa _{1}^{2}+15\kappa _{2}^{2}\kappa _{1}+10\kappa _{2}\kappa _{1}^{3}+\kappa _{1}^{5}

m_{6}=\kappa _{6}+6\kappa _{5}\kappa _{1}+15\kappa _{4}\kappa _{2}+15\kappa _{4}\kappa _{1}^{2}+10\kappa _{3}^{2}+60\kappa _{3}\kappa _{2}\kappa _{1}+20\kappa _{3}\kappa _{1}^{3}+15\kappa _{2}^{3}+45\kappa _{2}^{2}\kappa _{1}^{2}+15\kappa _{2}\kappa _{1}^{4}+\kappa _{1}^{6}.

Aby uzyskać wzory na zależność kumulant od momentów centralnych, należy we wszystkich wzorach opuścić składniki, gdzie $\kappa _{1}$ występuje jako czynnik.

Kumulanty i podział zbioru

Kumulanty mają ciekawą interpretację kombinatoryczną: współczynniki definiują określone podziały zbioru. Ogólna postać tych wielomianów to:

m_{n}=\sum _{\pi }\prod _{B\in \pi }\kappa _{\left|B\right|},

gdzie:

$\pi$ przebiega przez wszystkie podziały zbioru $n$ -elementowego,
„ $B\in \pi$ ” jest jednym z bloków, na które zbiór jest podzielony,
$|B|$ jest liczebnością zbioru $B.$

Każdy jednomian to stała pomnożona przez iloczyn kumulant, w których suma indeksów wynosi $n$ (np. dla $\kappa _{3}\ \kappa _{2}^{2}\ \kappa _{1},$ suma indeksów wynosi 3 + 2 + 2 + 1 = 8, pojawia się ona w wielomianie, który wyraża ósmą kumulantę za pomocą ośmiu pierwszych kumulant). Podziałowi liczby całkowitej $n$ odpowiadają poszczególne składniki. Współczynniki w każdym składniku to liczba podziałów $n$ -elementowego zbioru, które łączą się w podziały $n$ kiedy elementy zbioru stają się nierozróżnialne.

Kumulanty niektórych rozkładów prawdopodobieństwa

Kumulanty rozkładu normalnego o średniej $\mu$ i odchyleniu standardowym $\sigma$ wynoszą $\kappa _{1}=\mu ,$ $\kappa _{2}=\sigma ^{2}$ i $\kappa _{n}=0$ dla $n>2.$