Transformacja Clarke i Parka

Są to transformacje układu współrzędnych. Przekształcenia te służą do łatwiejszego analizowania układów sterowania silników 3-fazowych oraz są wykorzystywane przy konstruowaniu falowników wektorowych.

Przekształcenie Clarke

Pierwsza transformata ma za zadanie przedstawić wypadkowy wektor prądu na którego wpływ mają trzy trójfazowe prądy wygenerowane z uzwojeń rozmieszczonych względem siebie o 120 stopni.

Silnik trójfazowy rozkład uzwojeń

I tak patrząc na rysunek powyżej składową X wirującego wektora prądu, możemy obliczyć korzystając ze schematu poniżej:

Wyliczanie składowej X prądu

zapisując to wzorem:

$i_{x}=i_{a}-i_{c}\cdot \cos(60)-i_{b}\cdot \sin(30)$

$i_{x}=i_{a}-i_{c}\cdot {\frac {1}{2}}-i_{b}\cdot {\frac {1}{2}}$

Zakładając, że suma prądów jest równa zero

$i_{a}+i_{b}+i_{c}=0$

$i_{c}=-(i_{a}+i_{b})$

mamy

$i_{x}=i_{a}+i_{a}\cdot {\frac {1}{2}}+i_{b}\cdot {\frac {1}{2}}-i_{b}\cdot {\frac {1}{2}}$

$i_{x}=i_{a}+i_{a}\cdot {\frac {1}{2}}$

$i_{x}={\frac {3}{2}}i_{a}$

Natomiast ten rysunek obrazuje jak wyliczyć składową Y prądu:

Wyliczanie składowej Y prądu

zapisując to wzorem:

$i_{y}=i_{b}\cdot \sin(60)-i_{c}\cdot \cos(30)$

$i_{y}=i_{b}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}-i_{c}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}$

$i_{y}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot (i_{b}-i_{c})$

Podstawiając

$i_{c}=-(i_{a}+i_{b})$

$i_{y}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot (i_{a}+2i_{b})$

Zestawienie dwóch wzorów

$i_{x}={\frac {3}{2}}i_{a}$

$i_{y}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot (i_{a}+2i_{b})$

Przeskalujemy przez ${\frac {2}{3}}$ Daje nam następującą zależność

$i_{\alpha }=i_{a}$

$i_{\beta }={\frac {1}{\sqrt {3}}}\cdot (i_{a}+2i_{b})=0{,}577350269\cdot (i_{a}+2i_{b})$

Znane jest pod nazwą przekształcenia (transformaty Clarke).

Przekształcenie Parka

Transformacja Parka – odwirowanie. Założymy tutaj, że znany jest nam chwilowy kąt wirującego wektora prądu wirnika. Skorzystamy z własności współrzędnych w układzie biegunowym oraz właściwości funkcji trygonometrycznych:

Odwirowanie

Ponieważ przeniesienie z jednego układu do drugiego (w układzie biegunowym) owocuje jedynie zmianą kąta wektora. Wektor w układzie oryginalnym będzie miał długość $r$ oraz kąt $\alpha .$ A wektor w układzie dq przesuniętym będzie miał długość r oraz kąt $\alpha -\theta .$

A więc nowe współrzędne d q będą równe:

$i_{d}=i\cdot \cos(\alpha -\theta )$

$i_{q}=i\cdot \sin(\alpha -\theta )$

Korzystając z wzorów na sinus różnicy kątów mamy:

$i_{d}=\mathbf {i} \cdot \cos(\alpha )\cos(\theta )+i\cdot \sin(\alpha )\sin(\theta )$

$i_{q}=i\cdot \sin(\alpha )\cos(\theta )-\mathbf {i} \cdot \cos(\alpha )\sin(\theta )$

korzystając z zależności w oryginalnym układzie współrzędnych XY:

$\mathbf {i} _{\alpha }=i\cdot \cos(\alpha )$

$i_{\beta }=i\cdot \sin(\alpha )$

co daje nam:

$i_{d}=i_{\alpha }\cos(\theta )+i_{\beta }\sin(\theta )$

$i_{q}=i_{\beta }\cos(\theta )-i_{\alpha }\sin(\theta )$

Wzory te znane są pod nazwą przekształcenia (transformaty) Parka.

Wektor wirującego prądu tak przekształcony możemy przedstawić w postaci zespolonej:

${\underline {I_{s}}}=i_{d}+ji_{q}$

Linki zewnętrzne

• (en)Dqo_transformation