Twierdzenie Fermata o zerowaniu się pochodnej

Twierdzenie Fermata o zerowaniu się pochodnejtwierdzenie klasycznej analizy matematycznej mówiące o zerowaniu się pochodnej funkcji różniczkowalnej osiągającej maksimum lub minimum w punkcie wewnętrznym przedziału.

DefinicjaEdytuj

Niech   będzie funkcją ciągłą w przedziale   i różniczkowalną na przedziale  

Jeśli punkt   jest punktem, dla którego   lub   to

 

DowódEdytuj

Aby udowodnić to twierdzenie należy rozpatrzeć wartość granicy prawostronnej i lewostronnej ilorazu różnicowego. Funkcja z założenia jest różniczkowalna, więc granice jednostronne są sobie równe.

Dowód w przypadku, gdy   = max  

Ponieważ

 

więc

 

i korzystając z twierdzenia o zachowaniu słabej nierówności dla funkcji

   

Podobnie wykazujemy

   

Pochodne jednostronne są sobie równe. Ponieważ   więc

 

Przypadku, gdy   = min   dowodzi się analogicznie.

ZastosowanieEdytuj

Twierdzenie o zerowaniu się pochodnej jest używane między innymi przy dowodzie twierdzenia Rolle’a.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj