Twierdzenie Fermata o zerowaniu się pochodnej

Twierdzenie Fermata o zerowaniu się pochodnej – twierdzenie klasycznej analizy matematycznej mówiące o zerowaniu się pochodnej funkcji różniczkowalnej osiągającej maksimum lub minimum w punkcie wewnętrznym przedziału.

Definicja

Ustalmy $f\colon (a,b)\to \mathbb {R} .$

Jeśli funkcja jest różniczkowalna w punkcie $x_{0}\in (a,b)$ oraz $f(x_{0})=\max\{f(x)\colon x\in (a,b)\}$ lub $f(x_{0})=\min\{f(x)\colon x\in (a,b)\},$ to

$f'(x_{0})=0.$

Dowód

Aby udowodnić to twierdzenie należy rozpatrzeć wartość granicy prawostronnej i lewostronnej ilorazu różnicowego. Funkcja z założenia jest różniczkowalna w punkcie $x_{0},$ więc granice jednostronne są sobie równe.

Dowód w przypadku, gdy $f(x_{0})$ = max $f(x).$

Ponieważ

$f(x_{0})\geqslant f(x),$

więc

${\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\leqslant 0$

i korzystając z twierdzenia o zachowaniu słabej nierówności dla funkcji

$f'_{+}(x_{0})=\lim _{x\to x_{0}^{+}}~{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$ $\leqslant 0.$

Podobnie wykazujemy

$f'_{-}(x_{0})=\lim _{x\to x_{0}^{-}}~{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$ $\geqslant 0.$

Pochodne jednostronne są sobie równe. Ponieważ $f'_{+}(x_{0})\leqslant 0\wedge f'_{-}(x_{0})\geqslant 0,$ więc

$f'(x_{0})=f'_{+}(x_{0})=f'_{-}(x_{0})=0.$

Przypadku, gdy $f(x_{0})$ = min $f(x),$ dowodzi się analogicznie.

Zastosowanie

Twierdzenie o zerowaniu się pochodnej jest używane między innymi przy dowodzie twierdzenia Rolle’a.

Bibliografia

• Jakub Wyrostek: Uzupełnienie rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej. [dostęp 2016-01-07]. [zarchiwizowane z tego adresu (2016-01-07)]. (pol.).
• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Ryszard Bittner, Bolesław Gleichgewicht, Tadeusz Huskowski (tłum.). Wyd. XII. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002, s. 549. ISBN 978-83-01-02175-7. OCLC 749565830.
• Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas: Analiza matematyczna 1: definicje, twierdzenia, wzory. Wyd. XXIV zmienione. Wrocław: Oficyna Wydawnicza GiS, 2015, s. 166, seria: Matematyka dla Studentów Politechnik. ISBN 978-83-62780-30-3. OCLC 932191224.

Linki zewnętrzne

• Fermat theorem (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-02-07].