Twierdzenie Gerszgorina

Twierdzenie Gerszgorina – twierdzenie pozwalające nałożyć ograniczenia na wartości własne macierzy o współczynnikach rzeczywistych lub zespolonych. Po raz pierwszy zostało opublikowane w roku 1931 przez matematyka pochodzenia białoruskiego, Siemiona Gerszgorina.

Treść twierdzenia oraz dowódEdytuj

Niech   będzie kwadratową macierzą zespoloną o rozmiarze   z elementami   Dla   niech   gdzie   oznacza moduł z liczby   Niech   będzie domkniętym kołem o środku w   i promieniu   Takie koła są nazywane kołami Gerszgorina.

Twierdzenie Gerszgorina: każda wartość własna macierzy   leży wewnątrz lub na brzegu przynajmniej jednego z kół  

Dowód: Niech   będzie wartością własną   oraz   odpowiadającym jej wektorem własnym. Niech   będzie takie, iż   Wtedy   gdyż w przeciwnym wypadku   co nie może zajść dla wektorów własnych (nie są one wektorami zerowymi). Z równania na wartości własne macierzy mamy   lub równoważnie (rozpisując zapis macierzowo-wektorowy):

 

obustronnie odejmując   dostajemy:

 

I dzielimy obustronnie przez   (z wyboru i wiemy, że  ), a także obkładamy modułami:

 

Ostatnia nierówność jest poprawna, gdyż z warunku   mamy

 

Ponieważ wartości własne macierzy   są takie same jak macierzy   twierdzenie to można wzmocnić – wszystkie wartości własne macierzy   muszą leżeć na przecięciu sumy kół Gerszgorina macierzy   i sumy kół dla macierzy  

W szczególnym przypadku dla macierzy diagonalnej mamy, że wartości własne muszą być równe elementom leżącym na głównej przekątnej.

BibliografiaEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj