Twierdzenie Poincarégo-Hopfa

Twierdzenie Poincarégo-Hopfa (czasem twierdzenie o indeksie Poincaré) – twierdzenie, które jest używane w topologii różniczkowej.

W twierdzenie Poincarégo-Hopfa czasami jest ilustrowane twierdzeniem o czesaniu kuli, które mówi, że nie ma gładkiego pola wektorowego na sferze, nie mającego węzłów lub ognisk.

Zgodnie z twierdzeniem Poincarego-Hopfa zamknięta orbita może otaczać jedno ognisko, lub dwa ogniska i jedno siodło, nigdy jednak wyłącznie jedno siodło

Definicja formalna

Niech $M$ będzie rozmaitością różniczkowalną, wymiaru $n,$ oraz $v$ polem wektorowym na $M.$ Niech $x$ będzie izolowanym zerem $v,$ i $D$ niech będzie otoczeniem $x$ diffeomorficznym z $S^{n}$ dostatecznie małym żeby nie zawierać innych zer $v.$ Wtedy indeks $v$ w punkcie $x,$ jest stopniem Brouwera odwzorowania $u:\partial D\to S^{n-1}$ z brzegu $D$ w (n-1)-sferę dane przez $u(z)=v(z)/|v(z)|.$

Twierdzenie. Niech $M$ będzie zwartą rozmaitością różniczkowalną. Niech $v$ będzie polem wektorowym na $M$ z izolowanymi zerami. Jeśli $M$ ma brzeg, to $v$ jest dodatnio proporcjonalne do wektora normalnego do $\partial M.$ Wtedy zachodzi równość:

\sum _{i}\operatorname {index} _{x_{i}}(v)=\chi (M),

gdzie suma przebiega po wszystkich izolowanych zerach $v,$ a $\chi (M)$ jest charakterystyką Eulera $M.$ Wyjątkowo użyteczny przypadek zachodzi gdy $v$ jest nigdzie znikające, zmuszając $\chi (M)=0.$

Twierdzenie zostało udowodnione dla wymiaru 2 przez Henriego Poincare, a później uogólnione na wyższe wymiary przez Heinza Hopfa.

Zastosowanie dla dwuwymiarowych pól

Dla dwuwymiarowych autonomicznych układów dynamicznych to twierdzenie mówi, że zera pola wektorowego zadającego układ wewnątrz cyklicznej orbity (której wnętrze $M$ jest diffeomorficzne z $D^{2},$ a zatem ma $\chi (M)=1$ ) muszą mieć indeksy sumujące się do jedności. Indeksy hiperbolicznych punktów stabilnych da się w pełni scharakteryzować:

Centra:	$\operatorname {index} =+1$
Ogniska:	$\operatorname {index} =+1$
Węzły:	$\operatorname {index} =+1$
Siodła:	$\operatorname {index} =-1$

Pozwala to na wykluczanie istnienia niektórych orbit poprzez analizę zachowania wyłącznie w okolicy punktów stabilnych.

Bibliografia

Poincaré–Hopf theorem. W: Michiel Hazewinkel: Encyclopedia of Mathematics. Springer Netherlands, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Jean-Paul Brasselet, José Seade, Tatsuo Suwa: Vector fields on singular varieties. Heidelberg: Springer, 2009. ISBN 978-3-642-05205-7.