Twierdzenie Riemanna o szeregach warunkowo zbieżnych

Twierdzenie Riemanna – twierdzenie autorstwa Bernharda Riemanna mówiące o tym, że jeżeli szereg jest warunkowo zbieżny, to jego wyrazy można poprzestawiać w taki sposób, aby nowo otrzymany szereg był zbieżny do dowolnej liczby, a nawet był rozbieżny.

Twierdzenie

Niech

$(a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\dots )$

będzie takim ciągiem liczb rzeczywistych, że szereg $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ jest warunkowo zbieżny. Ponadto niech $M$ będzie liczbą rzeczywistą. Wówczas istnieje taka permutacja $\sigma$ zbioru liczb naturalnych, że

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}=M.$

Istnieje również taka permutacja $\sigma ,$ że

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}=\pm \infty .$

Wyrazy szeregu można również ustawić w takiej kolejności, że szereg nie ma żadnej granicy (ani skończonej, ani nieskończonej).

Dowód

Niech $(m_{n}),(m'_{n})$ będą ciągami liczb rzeczywistych zbieżnymi do $M$ odpowiednio z dołu i z góry, tzn. $m_{n}<M$ i $m'_{n}>M$ (można przyjąć $m_{n}=M-1/n$ oraz $m'_{n}=M+1/n$). Oznaczmy ponadto

$p_{n}={\tfrac {|a_{n}|+a_{n}}{2}},\ q_{n}={\tfrac {|a_{n}|-a_{n}}{2}}.$

Zauważmy, że ciąg $(p_{n})$ powstaje z ciągu $(a_{n})$ przez zastąpienie wyrazów $<0$ zerami. Analogicznie, ciąg $(q_{n})$ powstaje z ciągu $(a_{n})$ przez zastąpienie wyrazów $<0$ ich wartościami bezwzględnymi, a wyrazów $>0$ zerami. Oczywiście wszystkie wyraz $p_{n},q_{n}$ są nieujemne, a szeregi $\sum p_{n},\sum q_{n}$ są rozbieżne. Rzeczywiście, gdyby oba powyższe szeregi były zbieżne, to zbieżny byłby szereg $\sum |a_{n}|=\sum (p_{n}+q_{n}),$ co przeczy założeniu. Podobnie, gdyby tylko jeden z powyższych szeregów był zbieżny, to rozbieżny byłby szereg $\sum a_{n},$ gdyż $a_{n}=p_{n}-q_{n}.$

Oznaczmy teraz nieujemne wyrazy ciągu $(a_{n})$ przez $(P_{n}),$ a wartości bezwzględne wyrazów ujemnych przez $(Q_{n})$ (w kolejności takiej w jakiej występują w ciągu $(a_{n})$). Wtedy szeregi $\sum P_{n}$ oraz $\sum Q_{n}$ są równe szeregom $\sum p_{n}$ oraz $\sum q_{n}$ z dokładnością do wyrazów równych $0,$ a zatem są oba rozbieżne.

Wybierzmy teraz możliwie najmniejsze liczby naturalne $i_{1}$ oraz $j_{1}$ w taki sposób, aby

$P_{1}+P_{2}+\ldots +P_{i_{1}}>m_{1}$ i $P_{1}+P_{2}+\ldots +P_{i_{1}}-Q_{1}-Q_{2}-\ldots -Q_{j_{1}}<m'_{1}.$

Takie liczby istnieją na mocy rozbieżności szeregów $\sum P_{n},\sum Q_{n}.$ Następnie dla danych liczb $i_{n},j_{n}$ określamy indukcyjnie możliwie najmniejsze liczby $i_{n+1}>i_{n},j_{n+1}>j_{n},$ tak aby

$P_{1}+\ldots +P_{i_{1}}-Q_{1}-\ldots -Q_{j_{1}}+\ldots +P_{i_{n}+1}+\ldots +P_{i_{n+1}}>m_{n+1}$

oraz

$P_{1}+\ldots +P_{i_{1}}-Q_{1}-\ldots -Q_{j_{1}}+\ldots +P_{i_{n}+1}+\ldots +P_{i_{n+1}}-Q_{j_{n}+1}-\ldots -Q_{j_{n+1}}<m'_{n+1}.$

Otrzymujemy w ten sposób szereg

(*) $P_{1}+\ldots +P_{i_{1}}-Q_{1}-\ldots -Q_{j_{1}}+\ldots +P_{i_{n-1}}+\ldots +P_{i_{n}}-Q_{j_{n-1}}-\ldots -Q_{j_{n}}+\dots ,$

który jest szeregiem powstałym z $\sum a_{n}$ przez pewną permutację wyrazów. Pokażemy, że spełnia on tezę twierdzenia. Oznaczmy mianowicie sumy częściowe szeregu (*), kończące się na wyrazie $P_{i_{n}}$ przez $\tau _{n}.$ Zauważmy ponadto, że $P_{n}\to 0,$ gdy $n\to \infty$ na mocy zbieżności szeregu $\sum a_{n}.$ Ponieważ $|\tau _{n}-m_{n}|\leqslant P_{n},$ to $\tau _{n}\to M,$ tzn. M jest punktem skupienia ciągu sum częściowych szeregu (*), a tym samym jest sumą tego szeregu, gdyż jego ciąg sum częściowych spełnia warunek Cauchy’ego $(m_{n}-m'_{n}\to 0,$ gdy $n\to \infty ).$ To kończy dowód.

Przypadek $\pm \infty$ jest całkowicie analogiczny.

Przykład

Szereg

$1-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{4}}+\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }~{\frac {(-1)^{n+1}}{n}},$

nazwany szeregiem Leibniza jest zbieżny warunkowo do $\ln 2$ na mocy kryterium Leibniza (nie jest bezwzględnie, gdyż szereg wartości bezwzględnych jego wyrazów jest rozbieżnym szeregiem harmonicznym). Zarówno szereg składników dodatnich

$1+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+\dots ,$

jak i szereg składników ujemnych

${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{8}}+\dots$

są rozbieżne do $+\infty .$

Oznaczmy sumę jego wyrazów przez $S.$ Wyrazy tego ciągu możemy pogrupować parami:

$S=(1-{\tfrac {1}{2}})+({\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{4}})+({\tfrac {1}{5}}-{\tfrac {1}{6}})+\dots ,$

a następnie pomnożyć wszystkie przez ${\frac {1}{2}},$ otrzymując

${\tfrac {1}{2}}S={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{8}}+{\tfrac {1}{10}}+\dots$

Dodając do siebie oba powyższe szeregi mamy

${\tfrac {3}{2}}S=1+{\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {2}{4}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}-{\tfrac {2}{8}}+\dots$

Ostatecznie, powyższy szereg składa się z tych samych wyrazów co szereg pierwotny, ale jego suma jest o połowę większa. Jest to możliwe, ponieważ rozważany szereg nie jest bezwzględnie zbieżny.

Zobacz też

• twierdzenie Lévy’ego-Steinitza

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Riemann Series Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• L.D. Kudryavtsev, Riemann’s theorem on the rearrangement of terms of a series (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2022-12-20].