Twierdzenie ergodyczne Birkhoffa

Twierdzenie ergodyczne Birkhoffa – jedno z najważniejszych twierdzeń teorii ergodycznej. Opisuje zachowanie średnich wartości funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a przy stosowaniu na danej zmiennej przekształcenia ergodycznego. Nosi nazwisko George’a D. Birkhoffa.

Treść twierdzenia

Niech $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ będzie przestrzenią probabilistyczną oraz niech $T\colon X\to X$ będzie przekształceniem zachowującym miarę ($\mu (T^{-1}A)=\mu (A)$ dla wszystkich $A\in {\mathcal {F}}$) i ergodycznym ($TA=A$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\mu (A)=0$ lub $\mu (A)=1$). Wówczas, dla dowolnej funkcji $f\in L^{1}(\mu ),$

$\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}f(T^{n}x)=\int _{X}f\;d\mu$

dla $\mu$-prawie wszystkich $x\in X$ (tzn. że zbiór $x\in X,$ które nie spełniają powyższego warunku, ma miarę równą 0).

Motywacja

Twierdzenie ergodyczne Birkhoffa ma zastosowanie przy wielu problemach. Przedstawmy kilka przykładów. Zakładamy, że $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ jest przestrzenią probabilistyczną, a $T\colon X\to X$ zachowuje miarę.

• Niech $E\in {\mathcal {F}}$ będzie pewnym zbiorem, który chcemy analizować. Dla $x\in X,$ ile spośród elementów zbioru $\{x,\;Tx,\;T^{2}x,\;\ldots \}$ będzie należeć do $E$?
• Rozważmy $X$ będące okręgiem jednostkowym i przekształcenie $T_{\alpha }(x)=x+\alpha \;({\text{mod}}\;1)$ dla liczby niewymiernej $\alpha .$ Jak wówczas zachowują się wartości $T^{n}x$ przy $n\to \infty$?
• Twierdzenie Borela o liczbach normalnych. Prawie wszystkie liczby z przedziału $[0,1)$ są normalne w systemie binarnym, tzn. częstość występowania cyfry 1 w ich rozwinięciach wynosi ${\textstyle {\frac {1}{2}}.}$

Przekształcenia jednoznacznie ergodyczne

Przekształcenie $T\colon X\to X$ nazwiemy jednoznacznie ergodycznym (ang. uniquely ergodic), jeśli istnieje dokładnie jedna miara $\mu ,$ którą $T$ zachowuje. Udowodnienie, że $T$ jest przekształceniem jednoznacznie ergodycznym pozwala z twierdzenia Birkhoffa wyeliminować warunek $\mu$-prawie wszystkich elementów $X$ i zastąpić go wszystkimi $x\in X.$

Twierdzenie. Niech $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ będzie przestrzenią probabilistyczną i niech $T\colon X\to X.$ Przekształcenie $T$ jest jednoznacznie ergodyczne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje dokładnie jedna miara $\mu ,$ dla której $T$ jest przekształceniem zachowującym miarę i taka, że dla dowolnej funkcji $f\in L^{1}(\mu )$ zachodzi

$\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}f(T^{n}x)=\int _{X}f\;d\mu$

dla wszystkich $x\in X.$