Układ ergodyczny

W matematyce, układem ergodycznym nazwiemy dowolny układ dynamiczny, w którym przekształcenie jest ergodyczne. Przez ergodyczność rozumiemy, że jedynymi zbiorami niezmienniczymi ze względu na to przekształcenie są cała przestrzeń oraz zbiór pusty. Układami ergodycznymi zajmuje się teoria ergodyczna.

Definicja

Niech $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ będzie przestrzenią z miarą. Ponadto, niech $T\colon X\to X$ będzie odwzorowaniem zachowującym miarę, tzn. $\mu (T^{-1}A)=\mu (A)$ dla każdego $A\in {\mathcal {F}}.$ Wówczas odwzorowanie $T$ nazwiemy ergodycznym, jeśli dla dowolnego $A\in {\mathcal {F}}$ mamy $\mu (A\;\Delta \;T^{-1}A)=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\mu (A)=0$ lub $\mu (X\setminus A)=0$ ($\Delta$ oznacza różnicę symetryczną).

Układ $(X,{\mathcal {F}},\mu ,T)$ nazwiemy ergodycznym jeśli odwzorowanie $T$ jest ergodyczne.

Charakteryzacja ergodyczności

W literaturze znane są twierdzenia równoważne ergodyczności $T.$ Najczęściej zakłada się dodatkowo, że $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ jest nie tylko przestrzenią z miarą, ale też przestrzenią probabilistyczną.

Twierdzenie. Niech $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ będzie przestrzenią probabilistyczną oraz niech $T\colon X\to X$ będzie odwzorowaniem zachowującym miarę. Poniższe warunki są równoważne.

• $T$ jest ergodyczne.
• Dla dowolnego $A\in {\mathcal {F}}$ równość $\mu (A\;\Delta \;T^{-1}A)=0$ implikuje $\mu (A)=0$ lub $\mu (A)=1.$
• Dla dowolnego $A\in {\mathcal {F}},$ jeśli $\mu (A)>0,$ to $\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }T^{-n}A\right)=1.$
• Dla dowolnych $A,B\in {\mathcal {F}},$ jeśli $\mu (A)>0$ i $\mu (B)>0,$ to istnieje liczba całkowita $n\geqslant 1$ taka, że $\mu (T^{-n}A\cap B)>0.$
• Dla dowolnej funkcji mierzalnej $f\colon X\to \mathbb {C} ,$ jeśli $f(Tx)=f(x)$ dla $\mu -$ prawie wszystkich $x\in X,$ to $f(x)$ jest funkcją stałą dla $\mu -$ prawie wszystkich $x\in X.$

Układ jednoznacznie ergodyczny

Specyficznym rodzajem układów ergodycznych są układy jednoznacznie ergodyczne. Określenie to oznacza, że istnieje dokładnie jedna dobrze określona miara taka, aby układ był ergodyczny.

Niech dany będzie zbiór $X,$ jego σ-algebra borelowska ${\mathcal {F}}$ oraz odwzorowanie $T\colon X\to X.$ Wówczas, jeśli istnieje dokładnie jedna miara $\mu$ zdefiniowana na ${\mathcal {F}}$ taka, że $T$ jest ergodyczne, to układ $(X,{\mathcal {F}},\mu ,T)$ nazwiemy jednoznacznie ergodycznym.

Układy jednoznacznie ergodyczne posiadają własności, których nie można uogólnić na dowolne układy ergodyczne i które mogą okazać się kluczowe w dowodzeniu bardziej skomplikowanych twierdzeń.

Element $x\in X$ nazwiemy generycznym, jeśli dla dowolnej funkcji $f\in C(X)$ zachodzi

$\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}f(T^{n}x)=\int _{X}f\;d\mu .$

Twierdzenie. Układ $(X,{\mathcal {F}},\mu ,T)$ jest jednoznacznie ergodyczny wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie elementy zbioru $X$ są generyczne.