Wielomian symetryczny

Wielomian symetryczny – wielomian $W(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),$ który po dowolnej permutacji zmiennych $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ dla dowolnie wybranych zmiennych będzie przyjmował takie same wartości, jak przed permutacją.

Definicja formalna

Niech $W:=W(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ będzie dowolnym wielomianem $n$ zmiennych. Zmienne w tym wielomianie możemy podstawiać jedne za drugie za pomocą permutacji $\sigma$ zbioru $n$-elementowego:

$\sigma ={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&\ldots &x_{n}\\x_{\sigma (1)}&x_{\sigma (2)}&x_{\sigma (3)}&\ldots &x_{\sigma (n)}\end{pmatrix}}$

i otrzymać w ten sposób nowy wielomian $W_{\sigma }:=W_{\sigma }(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).$ Jeżeli:

$W_{\sigma }=W$

dla dowolnej permutacji $\sigma ,$ to $W$ nazywamy wielomianem symetrycznym.

Wielomiany stałe są symetryczne. Podobnie symetryczna jest suma, różnica oraz iloczyn dwóch wielomianów symetrycznych. Innymi słowy, wielomiany symetryczne tworzą pierścień

$S[x_{1},\dots ,x_{n}],$

a nawet algebrę nad ciałem (lub pierścieniem) współczynników wyjściowego pierścienia wielomianów.

Przykłady wielomianów symetrycznych

Następujące wielomiany są symetryczne:

$W(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2},$

$W(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}+x_{1}+x_{2}+x_{3}.$

Każdy jednomian postaci $W(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=lx_{1}^{k}x_{2}^{k}\ldots x_{n}^{k},$ gdzie $k\in \mathbb {N} ,l\in \mathbb {R}$ jest symetryczny.

Przykłady wielomianów, które nie są symetryczne

Zgodnie z definicją, żeby udowodnić, że dany wielomian $W$ nie jest symetryczny, należy podać przykład permutacji σ, w wyniku której otrzymany wielomian $W_{\sigma }$ jest różny od wielomianu $W$ (zobacz: kontrprzykład).

Dla przykładu udowodnimy, że wielomian

$W(x_{1},x_{2},x_{3}):=x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{3}^{2}+x_{2}^{2}x_{3}$

nie jest symetryczny.

Rozważmy permutację $\sigma ={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\x_{2}&x_{1}&x_{3}\end{pmatrix}}.$

Otrzymujemy wielomian

$W_{\sigma }(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{2}^{2}x_{1}+x_{2}x_{3}^{2}+x_{1}^{2}x_{3}=x_{1}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{3}+x_{2}x_{3}^{2}.$

Współczynnik przy $x_{1}^{2}x_{2}$ wynosi 1 dla $W,$ ale 0 dla $W_{\sigma }.$ Zatem $W_{\sigma }\neq W,$ więc wielomian $W$ nie jest symetryczny.

Elementarne wielomiany symetryczne i twierdzenie podstawowe

Elementarnymi wielomianami symetrycznymi $n$ zmiennych nazywamy każdy z wielomianów symetrycznych postaci

${\begin{aligned}S_{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})&=\sum _{1\leqslant i_{1}\leqslant n}x_{i_{1}}\\S_{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})&=\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}\leqslant n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\\S_{3}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})&=\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<i_{3}\leqslant n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}x_{i_{3}}\\S_{4}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})&=\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<i_{3}<i_{4}\leqslant n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}x_{i_{3}}x_{i_{4}}\\&\ldots \\S_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})&=\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{n}\leqslant n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\ldots x_{i_{n}}\end{aligned}}$

gdzie $n\in \mathbb {N} .$

Elementarne wielomiany symetryczne nazywane są także wielomianami symetrycznymi podstawowymi.

Jeżeli $W(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ jest dowolnym wielomianem symetrycznym, to istnieje dokładnie jeden wielomian $V(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ taki, że

$W(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=V(S_{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),S_{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),\dots ,S_{k}(x_{1},x_{2},\dots x_{n})).$

Nieformalnie, oznacza to, że za pomocą sumowania, mnożenia i mnożenia przez liczbę rzeczywistą wielomianów $S_{1},S_{2},\dots ,S_{n}$ można zbudować każdy wielomian symetryczny. Natomiast pełne i formalne sformułowanie tego wyniku brzmi:

Twierdzenie. Przyporządkowanie (polegające na podstawieniu)

$V(S_{1},\dots ,S_{n})\mapsto V(S_{1}(x_{1},\dots ,x_{n}),\dots ,S_{n}(x_{1},\dots ,X_{n}))$

jest izomorfizmem algebry wielomianowej $K[S_{1},\dots ,S_{n}]$ na algebrę wielomianów symetrycznych $S_{K}[X_{1},\dots ,X_{n}]$ (gdzie $K$ oznacza ciało współczynników).

Uwaga. Po lewej stronie powyższego przyporządkowania $S_{j}$ jest traktowane jako zmienna symboliczna, a po prawej – jako wielomian od zmiennych $x_{1},\dots ,x_{n}.$

Przykłady:

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}-2(x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1})=S_{1}^{2}-2S_{2},$

$5x_{1}x_{2}+5x_{1}x_{3}+5x_{2}x_{3}=5(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})=5S_{2},$

$x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=(x_{1}+x_{2})^{3}-3(x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2})=(x_{1}+x_{2})^{3}-3x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})=S_{1}^{3}-3S_{2}S_{1}.$

Wielomiany symetryczne a wzory Viète’a

Jeżeli wielomian $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}$ (gdzie $a_{n}\neq 0$) ma $n$ pierwiastków $\xi _{1},\dots ,\xi _{n},$ to zachodzą wzory Viète’a:

${\begin{aligned}S_{1}(\xi _{1}\dots ,\xi _{n})&=-{\tfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}\\S_{2}(\xi _{1}\dots ,\xi _{n})&={\tfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\&\ldots \\S_{n}(\xi _{1}\dots ,\xi _{n})&=(-1)^{n}\cdot {\tfrac {a_{0}}{a_{n}}}\end{aligned}}$

Uwaga. Każdy wielomian stopnia $n,$ nad ciałem $k,$ ma $n$ pierwiastków (niekoniecznie różnych) nad zamkniętym algebraicznie ciałem $K,$ będącym rozszerzeniem ciała $k$ (ale na ogół wielomian ten nie ma $n$ pierwiastków nad samym ciałem $k$).

Ze wzorów Viète’a i podstawowego twierdzenia (patrz wyżej) natychmiast wynika niezwykle ważny wniosek:

Twierdzenie. Niech $\xi _{1},\dots ,\xi _{n}$ będą pierwiastkami wielomianu $f,$ stopnia n, nad ciałem $k$ (same pierwiastki należą do pewnego ciała, będącego rozszerzeniem ciała $k$). Niech $F$ będzie wielomianem symetrycznym stopnia $n,$ nad tym samym ciałem $k$ (może być nad mniejszym). Wtedy

$F(\xi _{1},\dots ,\xi _{n})\in k.$

Linki zewnętrzne

• Wielomiany symetryczne Rozdział IX monografii Zasady algebry wyższej autorstwa Wacława Sierpińskiego.