Wielomian symetryczny

Wielomian symetrycznywielomian który po dowolnej permutacji zmiennych dla dowolnie wybranych zmiennych będzie przyjmował takie same wartości, jak przed permutacją.

Definicja formalnaEdytuj

Niech   będzie dowolnym wielomianem   zmiennych. Zmienne w tym wielomianie możemy podstawiać jedne za drugie za pomocą permutacji   zbioru  -elementowego:

 

i otrzymać w ten sposób nowy wielomian   Jeżeli:

 

dla dowolnej permutacji   to   nazywamy wielomianem symetrycznym.

Wielomiany stałe są symetryczne. Podobnie symetryczna jest suma, różnica oraz iloczyn dwóch wielomianów symetrycznych. Innymi słowy, wielomiany symetryczne tworzą pierścień

 

a nawet algebrę nad ciałem (lub pierścieniem) współczynników wyjściowego pierścienia wielomianów.

Przykłady wielomianów symetrycznychEdytuj

Następujące wielomiany są symetryczne:

 
 

Każdy jednomian postaci   gdzie   jest symetryczny.

Przykłady wielomianów, które nie są symetryczneEdytuj

Zgodnie z definicją, żeby udowodnić, że dany wielomian   nie jest symetryczny, należy podać przykład permutacji σ, w wyniku której otrzymany wielomian   jest różny od wielomianu   (zobacz: kontrprzykład).

Dla przykładu udowodnimy, że wielomian

 

nie jest symetryczny.

Rozważmy permutację  

Otrzymujemy wielomian

 

Współczynnik przy   wynosi 1 dla   ale 0 dla   Zatem   więc wielomian   nie jest symetryczny.

Elementarne wielomiany symetryczne i twierdzenie podstawoweEdytuj

Elementarnymi wielomianami symetrycznymi   zmiennych nazywamy każdy z wielomianów symetrycznych postaci

 

gdzie  

Elementarne wielomiany symetryczne nazywane są także wielomianami symetrycznymi podstawowymi.

Jeżeli   jest dowolnym wielomianem symetrycznym, to istnieje dokładnie jeden wielomian   taki, że

 

Nieformalnie, oznacza to, że za pomocą sumowania, mnożenia i mnożenia przez liczbę rzeczywistą wielomianów   można zbudować każdy wielomian symetryczny. Natomiast pełne i formalne sformułowanie tego wyniku brzmi:

Twierdzenie. Przyporządkowanie (polegające na podstawieniu)

 

jest izomorfizmem algebry wielomianowej   na algebrę wielomianów symetrycznych   (gdzie   oznacza ciało współczynników).

Uwaga. Po lewej stronie powyższego przyporządkowania   jest traktowane jako zmienna symboliczna, a po prawej – jako wielomian od zmiennych  

Przykłady:

 
 
 

Wielomiany symetryczne a wzory Viète’aEdytuj

Jeżeli wielomian   (gdzie  ) ma   pierwiastków   to zachodzą wzory Viète’a:

 

Uwaga. Każdy wielomian stopnia   nad ciałem   ma   pierwiastków (niekoniecznie różnych) nad zamkniętym algebraicznie ciałem   będącym rozszerzeniem ciała   (ale na ogół wielomian ten nie ma   pierwiastków nad samym ciałem  ).

Ze wzorów Viète’a i podstawowego twierdzenia (patrz wyżej) natychmiast wynika niezwykle ważny wniosek:

Twierdzenie. Niech   będą pierwiastkami wielomianu   stopnia n, nad ciałem   (same pierwiastki należą do pewnego ciała, będącego rozszerzeniem ciała  ). Niech   będzie wielomianem symetrycznym stopnia   nad tym samym ciałem   (może być nad mniejszym). Wtedy

 

Linki zewnętrzneEdytuj