Wirowość potencjalna

Wirowość potencjalna, PV – miara ścięcia przepływu wykorzystywana w oceanografii i fizyce atmosfery. Wielkość ta jest kombinacją zasady zachowania wirowości i masy i jest specjalnym przypadkiem twierdzenia Ertela. Zasada zachowania wirowości potencjalnej jest wykorzystywana w fizyce atmosfery i oceanografii do opisu fal Rossby’ego.

Wprowadzenie

edytuj

Zachowanie wirowości potencjalnej można zrozumieć rozważając mały walec cieczy nieściśliwej i nielepkiej. Na początku, w czasie   walec obraca się z jednorodną prędkością kątową   wokół swojej osi. Następnie wysokość walca jest zwiększana, przy zachowaniu jego objętości. Z zasady zachowania momentu pędu wynika że prędkość obrotowa zwiększy się.  

Prędkość kątowa jest proporcjonalna do wysokości walca. Jeżeli w chwili   walec ma promień   i masę   to jego moment pędu jest

 

Jeżeli walec zmienia swój promień w chwili   jego moment pędu wynosi

 

czyli

 

a to oznacza, że

 

gdzie   oraz   są powierzchniami kół będących podstawami walców w chwilach   oraz  

Ponieważ płyn jest nieściśliwy to objętość walców pozostaje taka sama. Wobec tego wysokość jest odwrotnie proporcjonalna do powierzchni bocznej walca. Wynika z tego, że

 

lub

 

ponieważ   z definicji wirowości.

Zachowanie wirowości potencjalnej Rossby’ego

edytuj

Wirowość potencjalna Rossby’ego jest zdefiniowana jako

 

gdzie   jest wirowością planetarną,   jest wirowością względną (względem przepływu płynu nad powierzchnią Ziemi),   jest grubością jednorodnej warstwy płynu. Dla takiego płynu wirowość potencjalna Rossby’ego jest zachowana.

Wirowość potencjalna Rossby’ego może być zdefiniowana w przepływie, w którym horyzontalne składowe prędkości nie zależą od wysokości, a składowa pionowa prędkości jest mała (płyn barotropowy). Równanie ruchu takiego płynu

 

natomiast równanie ciągłości dla płynu nieściśliwego

 

wobec tego

 

całkując to równanie po wysokości

 

i dzieląc przez  

 

Całkując od czasu   do  

 

co pokazuje, że wirowość potencjalna Rossby’ego jest zachowana dla przepływu barotropowego.

Zastosowania

edytuj

Przepływ merydionalny

edytuj

Kolumna powietrza lub wody początkowo w spoczynku na pewnej szerokości geograficznej ma wirowość planetarną związaną z obrotem Ziemi. Jeżeli wysokość tej kolumny się nie zmienia to zasadę zachowania wirowości potencjalnej jest

 

gdzie wirowość całkowita (absolutna) jest stała.

Jeżeli kolumna powietrza porusza się na północ (oddala się od równika) wtedy jej wirowość względna będzie ujemna ponieważ wirowość planatarna zmniejsza się wraz z wzrastającą szerokością geograficzną. Tak więc ruch w kierunku północnym lub południowym powoduje zmianę wirowości względnej tej kolumny, czyli powoduje ruch antycyklonalny (zgodny ze wskazówkami zegara) lub cyklonalny (przeciwny do wskazówek zegara).

Przepływy strefowe

edytuj

  W czasie przepływu z zachodu na wschód zaburzenie w kierunku północnym powoduje powstanie ujemnej (antycyklonalnej) wirowości i kolumna odchyla się w kierunku południowo-wschodnim. Z zasady zachowania wirowości potencjalnej kolumna ze składową w kierunku południowym będzie miała wirowość dodatnia (cyklonalną). Ten mechanizm prowadzi do powstawania fal Rossby’ego.

  Natomiast w przepływie strefowym ze wschodu na zachód, w którym nastąpiło małe zaburzenie ze składową w kierunku północnym kolumna będzie zakrzywiała się coraz bardziej w kierunku północnym.

Uogólniona definicja wirowości potencjalnej

edytuj
 

gdzie:

  •   – wirowość względna,
  •   – wirowość planetarna,
  •   – częstotliwość kołowa,
  •   – gęstość,
  •  gradient wektorowy (operator nabla),
  •  wielkość skalarna będąca tylko funkcją ciśnienia i gęstości, dla przykładu może to być temperatura potencjalna lub gęstość potencjalna.

Jednostką wirowości potencjalnej PVU (ang. potential vorticity unit) jest

 

Źródłami i upustami (ang. source and sink) wirowości potencjalnej są efekty baroklinowe i tarcie.

Jeżeli zachodzą następujące założenia dotyczące przepływu

  1. brak tarcia,
  2.   jest wielkość zachowawczą, czyli  
  3. Przepływ jest barotropowy, czyli   lub  

to wtedy wirowość potencjalna jest zachowana

 

Z tego wzoru wynika, że wirowość względna   zmniejsza się jeżeli wirowość planetarna   się zwiększa; dla przykładu kiedy cząstka próbna powietrza porusza się na północ. Jest to równoważne zasadzie zachowania momentu pędu w mechanice.

Przepływ jest adiabatyczny jeżeli   jest funkcją tylko ciśnienia i gęstości,   Wtedy

 

gdzie:

  •   – szerokość geograficzna,
  •   – głębokość (np. ponad górą lub topografią).

Zobacz też

edytuj

Bibliografia

edytuj

Linki zewnętrzne

edytuj
  • Michael E. McIntyre: Potential vorticity (PDF)