Zasada abstrakcji

Zasada abstrakcjitwierdzenie matematyczne mówiące, że dowolnemu rozbiciu zbioru odpowiada pewna relacja równoważności, a każda relacja równoważności ustanawia pewne rozbicie zbioru[1].

TwierdzenieEdytuj

Jeśli   jest zbiorem niepustym i   jest relacją równoważnościową na tym zbiorze, to rodzina podzbiorów   określona następująco:

 

jest rozbiciem zbioru  [2].

Twierdzenie to nazywane jest zasadą abstrakcji, a zbiory rodziny   klasami abstrakcji relacji  [2].

DowódEdytuj

Ponieważ   więc każdy element zbioru   należy do pewnego zbioru rodziny   i żaden z tych zbiorów nie jest pusty. Jeśli   to istnieje   skąd   Zatem   czyli  [3].

Twierdzenie odwrotneEdytuj

Jeśli   jest zbiorem niepustym i   jest jego rozbiciem, to relacja   określona w zbiorze   wzorem:

 

jest równoważnościowa[4].

DowódEdytuj

Jeśli   to ponieważ   to dla pewnego     a stąd wynika, że  

Jeśli   to   Wynika to z oczywistej implikacji:  

Niech   Istnieją   dla których   Jednak w tym wypadku   ponieważ   skąd   a więc  [5].

PrzypisyEdytuj

  1. Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości., Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005.
  2. a b Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 271.
  3. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 271 – dowód.
  4. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 270.
  5. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 270-271 – Dowód.