Zbiór graniczny

Zbiorem granicznym $C_{\mathfrak {D}}(f,z_{0})$ funkcji $f:{\mathfrak {D}}\to \mathbb {C}$ w punkcie $z_{0}\in {\overline {\mathfrak {D}}},$ gdzie ${\mathfrak {D}}$ jest obszarem w płaszczyźnie zespolonej $\mathbb {C} ,$ a ${\overline {\mathfrak {D}}}$ jest domknięciem tego obszaru, jest zbiór punktów granicznych ciągów $\{f(z_{n})\},$ gdzie $\{z_{n}\}\subset {\mathfrak {D}}\setminus \{z_{0}\}$:

$\{\alpha :\{z_{n}\}\subset {\mathfrak {D}}\setminus \{z_{0}\},\lim _{n\to \infty }z_{n}=z_{0},\lim _{n\to \infty }f(z_{n})=\alpha \}.$

Zbiór graniczny można także zdefiniować następująco

$C_{\mathfrak {D}}(f,z_{0})=\bigcap _{r>0}{\overline {{\mathfrak {D}}_{r}}},$

gdzie ${\mathfrak {D}}_{r}=f(\delta _{r}\cap ({\mathfrak {D}}\setminus \{z_{0}\})$ oraz $\delta _{r}=\{z:|z-z_{0}|<r\}$.

Jeśli zbiór graniczny składa się z jednego punktu, nazywa się zbiorem granicznym osobliwym.

Własności

• Zbiór $C_{\mathfrak {D}}(f,z_{0})$ jest zbiorem domkniętym.
• Pojęcie zbioru granicznego można zdefiniować dla prostej rzeczywistej oraz uogólnić na przestrzenie wektorowe nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych.