Zbiory dodatnio oddzielone

Zbiory oddzielone – dwa niepuste podzbiory $A,B$ danej przestrzeni metrycznej $(X,d),$ dla których kres dolny

$\inf _{\!\!\!a\in A,b\in B}\!\!\!d(a,b)$

jest liczbą dodatnią.

Uwaga

Niektórzy autorzy zastrzegają, że $A$ i $B$ powinny być rozłączne, jednak nie dodaje to niczego do definicji, gdyż jeśli miałyby one punkt wspólny $p,$ to wtedy $d(p,p)=0$ i powyższe infimum przyjmuje wartość zerową.

Przykład

Na prostej rzeczywistej z metryką euklidesową przedziały otwarte $(0,2)$ oraz $(3,4)$ są oddzielone, podczas gdy $(3,4)$ oraz $(4,5)$ nie są. Na płaszczyźnie wykres funkcji $y={\tfrac {1}{x}}>0$ i oś odciętych $y=0$ nie są oddzielone.

Bibliografia

• Claude A. Rogers: Hausdorff measures. Wyd. III. Cambridge: Cambridge University Press, 1998, s. xxx+195, seria: Cambridge Mathematical Library. ISBN 0-521-62491-6.