Średnia całkowa

Średnia całkowa – średnia wartość funkcji w przedziale będąca uogólnieniem średniej arytmetycznej.

Niech funkcja $f$ jest całkowalna w przedziale $[a,\ b]$ i ograniczona $m\leqslant f(x)\leqslant M.$

Wówczas średnią całkową funkcji $f$ w przedziale $[a,\ b]$ definiuje się jako

$\mu ={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

lub ogólniej

$\mu ={\frac {\int _{a}^{b}f(x)\,dx}{\int _{a}^{b}\,dx}},.$

Opierając się na twierdzeniu o wartości średniej, otrzymuje się $m\leqslant \mu \leqslant M.$ Jeśli o funkcji $f$ dodatkowo założyć, że jest ciągła, to średnia $\mu$ jest osiągana dla pewnego punktu $\xi \in [a,\ b],$ tzn. $\mu =f(\xi ).$

W przypadku dyskretnym pojęcie średniej całkowej redukuje się do zwykłej średniej arytmetycznej (dyskretnej).

Bibliografia

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966.