Twierdzenie o wartości średniej (rachunek całkowy)

Twierdzenie o wartości średniej – każde z kilku poniższych twierdzeń wiążących wartość całki oznaczonej funkcji całkowalnej (w sensie Riemanna lub Lebesgue’a) na danym zbiorze z pewną wielkością, która w spełnia rolę „wartości średniej” funkcji, bądź należy do danego zbioru.

Wszystkie rozpatrywane funkcje są funkcjami rzeczywistymi określonymi na przedziale

Pierwsze twierdzenieEdytuj

Jeżeli funkcja   jest ograniczona:   i całkowalna, to istnieje taka liczba   że:

 

W przypadku gdy funkcja   jest ciągła, tezę twierdzenia można wzmocnić następująco:

istnieje punkt   taki, że
 

Intuicyjnie jest jasne, że ze względu na całkę, właśnie   jest „średnią” wartością funkcji   w przedziale  

UogólnienieEdytuj

Ta wersja dotyczy dwóch funkcji całkowalnych, jeżeli przyjmiemy w nim   to otrzymamy powyższą wersję.

Jeżeli funkcje   są całkowalne,   jest ograniczona:   a   zachowuje znak w tym przedziale, to

 

Jak poprzednio, w sytuacji, gdy   jest funkcją ciągłą, w tezie twierdzenia można postulować istnienie takiego punktu   że:

 

Drugie twierdzenieEdytuj

Twierdzenie to również dotyczy całki z iloczynu dwóch funkcji.

Jeżeli funkcja   jest monotonicznie malejąca i nieujemna, a   całkowalna, to istnieje taki punkt   że:

 

Najmocniejsza wersja tego twierdzenia pochodzi od japońskiego matematyka Hiroshiego Okamury (1947) i ma następującą postać:

Jeżeli funkcja   jest monotonicznie malejąca, a   całkowalna, to istnieje taki punkt   że:
 
Przez   i   rozumiemy tu odpowiednie granice jednostronne funkcji  

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. II, PWN, Warszawa 1978.