0,(9)

zapis liczby 1 w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego
0,(9)

0,(9) (lub 0,999...) – alternatywny zapis liczby 1 w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego. Równość 0,(9) = 1 można udowodnić na kilka sposobów.

DowodyEdytuj

Dowód 1.Edytuj

Dowód wykorzystuje przedstawienie ułamka   w postaci liczby dziesiętnej   Z równości   natychmiast wynika

 

Podobnie ułamek   można przedstawić w postaci liczby dziesiętnej   Stąd

 

W dowodzie można także wykorzystać dowolny rozkład liczby 0,(9) na sumę co najmniej dwóch ułamków dziesiętnych nieskończonych, o których wiadomo, jakich ułamków zwykłych są rozwinięciem. Przykładowo:

 

Podobnie dla poniższych rozkładów

   itd.

Dowód 2.Edytuj

Dowód polega na pomnożeniu liczby 0,(9) przez 10, odjęciu od otrzymanego wyniku 0,(9), a następnie na podzieleniu całości przez 9:

 

Dowód 3.Edytuj

Liczbę 0,(9) można przedstawić jako sumę nieskończonego szeregu geometrycznego:

 

i korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, w którym   dostaniemy:

 

UwagiEdytuj

Uwaga 1.

Pierwszy dowód opiera się na algorytmie wyznaczania rozwinięcia dziesiętnego liczby rzeczywistej.

Dla ułamków postaci   zachodzi równość

 

z której wynika, że kolejne cyfry rozwinięcia dziesiętnego powstające w trakcie stosowania algorytmu powtarzają się cyklicznie   tzn.

 

Ten algorytm zawodzi jednak dla ułamka   stąd nieoczywista równość

 

którą należy wykazać.

Uwaga 2.

Dowód 2. jest zastosowaniem ogólnej metody zamiany na ułamek zwykły każdej liczby dziesiętnej okresowej z dowolnie długim okresem.

Uwaga 3.

Ściśle biorąc, dwa pierwsze dowody, chociaż bardzo intuicyjne, korzystają implicite z pewnych własności szeregów zbieżnych:

  • jeśli   jest zbieżny, to   też jest zbieżny oraz  
  • jeśli   są zbieżne, to   też jest zbieżny oraz  

Zobacz teżEdytuj