Człon inercyjny

Człon inercyjny – w automatyce to układ, którego transmitancja ma postać

$G(s)={\frac {k}{(1+sT_{1})(1+sT_{2})\dots (1+sT_{n})}},$

gdzie:

$k\in \mathbb {R}$ – wzmocnienie układu,

$T_{i}\in \mathbb {R} ^{+},i=1,2,\dots ,n$ – stałe czasowe inercji,

$n$ – rząd inercji członu.

Człon inercyjny I rzędu

Człon inercyjny pierwszego rzędu ma transmitancję postaci:

$G(s)={\frac {k}{1+sT}}.$

Odpowiedź impulsowa:

$g(t)={\frac {k}{T}}\ e^{-{\frac {t}{T}}}\cdot \mathbf {1} (t).$

Charakterystyka skokowa członu inercyjnego I rzędu wynosi:

• w dziedzinie operatorowej:

$H(s)=G(s)\cdot X(s)={\frac {k}{1+sT}}\cdot {\frac {1}{s}}={\frac {k}{s(1+sT)}},$

• w dziedzinie czasu:

$h(t)=k\left(1-e^{-{\frac {t}{T}}}\right)\cdot \mathbf {1} (t).$

Charakterystyka sinusoidalna członu inercyjnego I rzędu wynosi:

$y(t)={\frac {kT\omega }{1+\omega ^{2}T^{2}}}e^{-{\frac {t}{T}}}+{\frac {k}{\sqrt {1+\omega ^{2}T^{2}}}}\sin(\omega t+\phi ).$

Charakterystyka amplitudowo-fazowa:

$G(j\omega )={\frac {k}{1+j\omega T}}={\frac {k}{1+(\omega T)^{2}}}-j{\frac {k\omega T}{1+(\omega T)^{2}}},$

przyjmując $G(j\omega )=P(\omega )+jQ(\omega ),$ otrzymuje się:

$P(\omega )={\frac {k}{1+(\omega T)^{2}}},$

$Q(\omega )=-{\frac {k\omega T}{1+(\omega T)^{2}}}.$

Charakterystyka fazowa:

$\phi (\omega )=-\operatorname {arctg} \,(\omega T).$

Człon inercyjny II rzędu

Człon inercyjny drugiego rzędu ma postać:

$G(s)={\frac {k}{(1+sT_{1})(1+sT_{2})}}.$

Odpowiedź impulsowa:

$g(t)={\frac {k}{T_{1}-T_{2}}}\left(e^{-{\frac {t}{T_{1}}}}-e^{-{\frac {t}{T_{2}}}}\right)\cdot \mathbf {1} (t).$

Charakterystyka skokowa członu inercyjnego II rzędu wynosi:

• w dziedzinie operatorowej:

$H(s)=G(s)\cdot X(s)={\frac {k}{(1+sT_{1})(1+sT_{2})}}\cdot {\frac {1}{s}}={\frac {k}{s(1+sT_{1})(1+sT_{2})}},$

• w dziedzinie czasu:

$h(t)=k\left(1-{\frac {T_{1}}{T_{1}-T_{2}}}e^{-{\frac {t}{T_{1}}}}+{\frac {T_{2}}{T_{1}-T_{2}}}e^{-{\frac {t}{T_{2}}}}\right)\cdot \mathbf {1} (t).$

Charakterystyka amplitudowo-fazowa:

$G(j\omega )={\frac {k}{(1+j\omega T_{1})(1+j\omega T_{2})}},$

przyjmując $G(j\omega )=P(\omega )+jQ(\omega )$ po przekształceniach, otrzymuje się:

$P(\omega )={\frac {k(1-\omega ^{2}T_{1}T_{2})}{1+(\omega T_{1})^{2}+(\omega T_{2})^{2}+(\omega ^{2}T_{1}T_{2})^{2}}},$

$Q(\omega )={\frac {-k\omega (T_{1}+T_{2})}{1+(\omega T_{1})^{2}+(\omega T_{2})^{2}+(\omega ^{2}T_{1}T_{2})^{2}}}.$

Charakterystyka fazowa:

$\phi (\omega )=\operatorname {arctg} \,{\frac {\omega (T_{1}+T_{2})}{\omega ^{2}T_{1}T_{2}-1}}.$

Zobacz też

• człon proporcjonalny, człon całkujący, człon różniczkujący, człon opóźniający, człon oscylacyjny
• funkcja skokowa Heaviside’a
• inercja