Iloczyny Arensa

Iloczyny Arensa – dla danej algebry Banacha $A,$ dwa naturalne rozszerzenia działania mnożenia w $A$ do drugiej przestrzeni sprzężonej $A^{**}$ (algebra $A$ utożsamiana jest ze swoim kanonicznym obrazem w $A^{**}$). Pojęcie wprowadzone przez R. Arensa w 1951 roku.

Definicja

Niech $A$ będzie algebrą Banacha, $a,b\in A;\ \lambda \in A^{*}$ oraz $\Phi \in A^{**}.$ Niech ponadto:

${\begin{array}{rl}a\cdot \lambda &\colon &b\mapsto \langle \lambda ,ba\rangle ,\\\lambda \cdot a&\colon &b\mapsto \langle \lambda ,ab\rangle ,\\\lambda \cdot \Phi &\colon &b\mapsto \langle \Phi ,b\cdot \lambda \rangle ,\\\Phi \cdot \lambda &\colon &b\mapsto \langle \Phi ,\lambda \cdot b\rangle .\end{array}}$

Wówczas $a\cdot \lambda ,\ \lambda \cdot a,\ \lambda \cdot \Phi ,\ \Phi \cdot \lambda \in A^{*}.$ Działania dane wzorami:

$\langle \Phi \,{\scriptstyle \square }\,\Psi ,\lambda \rangle =\langle \Phi ,\Psi \cdot \lambda \rangle ,$

$\langle \Phi \diamond \Psi ,\lambda \rangle =\langle \Phi ,\lambda \cdot \Psi \rangle \;\;\;(\Phi ,\Psi \in A^{**},\lambda \in A^{*}).$

nazywane są, odpowiednio, pierwszym i drugim iloczynem Arensa. Przestrzeń $A^{**}$ z każdym z tych działań jest algebrą Banacha. Algebra Banacha nazywana jest regularną w sensie Arensa, gdy obydwa te działania w $A^{**}$ pokrywają się.

Przykłady algebr regularnych w sensie Arensa

• Każda C*-algebra $C$ z jedynką jest regularna w sensie Aresna. Jeżeli $\pi ,$ jest jej reprezentacją uniwersalną $C$ na pewnej przestrzeni Hilberta $H,$ to $A^{**}$ może być utożsamiona z drugim komutantem $\pi (A).$
• Podalgebry oraz algebry ilorazowe algebr regularnych w sensie Arensa są regularne w sensie Arensa.
• Algebra Banacha ℓ₁ (z mnożeniem splotowym) nie jest regularna w sensie Aresna.

Bibliografia

• H. Garth Dales: Banach algebras and automatic continuity. T. 24. Oxford: New Series (The Clarendon Press Oxford University Press), 2000, seria: London Mathematical Society Monographs. Brak numerów stron w książce
• Theodore W. Palmer: Banach algebras and the general theory of *-algebras. T. Volume 1, Algebras and Banach algebras. Cambridge: Cambridge University Press, 1994, s. 47–69.