Liczba Knudsena

Liczba Knudsena – jedna z bezwymiarowych liczb podobieństwa stosowanych w mechanice płynów. Jej wartość służy jako podstawowe kryterium stosowalności równań mechaniki płynów. Liczba ta nazwana jest na cześć duńskiego fizyka Martina Knudsena (1871–1949).

Definicja

Charakterystyczna długość L

W większości zjawisk transportu płynu można określić tzw. długość charakterystyczną $L$ określającą (minimalną) skalę długości, na jakiej obserwuje się znaczące różnice w parametrach makroskopowych przepływu. Wielkość ta ma charakter umowny i zależy od konkretnego zjawiska – dla opływu jako $L$ można przyjąć średnicę (lub promień) opływanego obiektu; dla przepływu przez kanał jako $L$ można przyjąć jego średnicę (w największym przewężeniu). Należy podkreślić, że różni autorzy mogą stosować nieco inne definicje $L,$ szczególnie dla przepływów w skomplikowanych geometriach (np. w substancjach porowatych), dlatego wielkość ta nie ma jednoznacznie określonej wartości.

Definicja liczby Knudsena

Po ustaleniu wartości długości charakterystycznej $L,$ liczbę Knudsena (oznaczaną literami $Kn$ ) definiuje się jako iloraz

Kn={\frac {\lambda }{L}},

gdzie:

\lambda

– średnia droga swobodna cząsteczek [m],

L

– długość charakterystyczna [m].

Liczba Knudsena dla gazu idealnego

W przypadku gazu doskonałego wzór powyższy prowadzi do:

Kn={\frac {k_{B}T}{{\sqrt {2}}\pi \sigma ^{2}PL}},

gdzie:

k_{B}

– stała Boltzmanna (1,38·10⁻²³ [J/K]),

T

– temperatura [K],

\sigma

– średnica czynna cząsteczek gazu [m],

P

– ciśnienie [Pa].

Zastosowania

W kinetycznej teorii gazów liczba Knudsena służy jako parametr rozwinięcia perturbacyjnego Chapmana-Enskoga, które po odrzuceniu składników wyższego rzędu prowadzi do równań Naviera-Stokesa. Oznacza to, że warunkiem na to, by płyn można było traktować jako ośrodek ciągły, jest dostatecznie mała wartość liczby Knudsena. W praktyce jako wartość graniczną przyjmuje się $Kn\approx 0,01$ – jeżeli $Kn$ nie przekracza tej wielkości, to płyn można traktować jako ośrodek ciągły opisywany równaniami Naviera-Stokesa. W przeciwnym wypadku do opisu transportu należy zastosować metody fizyki statystycznej.

Ponieważ średnia droga swobodna cząsteczek powietrza w warunkach normalnych wynosi 6,21·10⁻⁸ m, w większości przypadków praktycznych liczba Knudsena jest bardzo mała, w związku z czym przepływ można opisywać równaniami mechaniki płynów. Wyjątek stanowią zjawiska transportu w silnie rozrzedzonych gazach (np. w egzosferze), w ośrodkach mikroporowatych (przepływ Knudsena) i zjawiska zachodzące w normalnych przepływach w bardzo cienkiej warstwie przypowierzchniowej.