Macierz Hadamarda

Macierz Hadamarda – macierz kwadratowa, której elementami są liczby +1 lub –1, a jej kolumny (i równoważnie - wiersze) są parami ortogonalne.

W kategoriach geometrycznych oznacza to, że każda para wierszy w macierzy Hadamarda reprezentuje wektory wzajemnieprostopadłe. Równoległościan rozpięty przez wektory macierzy Hadamarda n × n ma wymiar n i ma on maksymalną objętość wśród równoległościanów utworzonych przez n wektorów, mających długości nie większe niż 1. Równoważnie, macierz Hadamarda ma maksymalny wyznacznik wśród macierzy z elementami o wartości bezwzględnej mniejszej lub równej 1.

Macierz Hadamarda o n wierszach i n kolumnach oznacza się zwykle symbolem $H_{n}$. Nazwa macierzy pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka Jacques’a Hadamarda.

Przykłady

$H_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ H_{2}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}},\ H_{4}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}}$

$H_{8}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\end{bmatrix}}$

$H_{12}={\begin{bmatrix}++++++&-+++++\\+++--+&+-+--+\\++++--&++-+--\\+-+++-&+-+-+-\\+-++++&+--+-+\\++--++&++--+-\\\\-+++++&------\\+-+--+&---++-\\++-+--&----++\\+-+-+-&-+---+\\+--+-+&-++---\\++--+-&--++--\end{bmatrix}}$

W powyższej macierzy $+$ oznacza liczbę $1$ natomiast $-$ liczbę $-1.$

Macierz Hadamarda wymiaru $2n$ można uzyskać z macierzy Hadamarda wymiaru $n$ za pomocą wzoru:

$H_{2n}={\begin{bmatrix}H_{n}&H_{n}\\H_{n}&-H_{n}\end{bmatrix}}$

Macierze $H_{2},H_{4},H_{8}$ zostały skonstruowane powyższą metodą, natomiast macierz $H_{12}$ nie (rzeczywista macierz Hadamarda rzędu 6 nie istnieje).

Właściwości macierzy Hadamarda

• $H_{n}H_{n}^{T}=nI_{n}$ gdzie $I_{n}$ jest macierzą jednostkową rzędu $n.$
• Macierz pozostaje macierzą Hadamarda po pomnożeniu dowolnego wiersza lub kolumny przez $-1.$
• Macierz transponowana do macierzy Hadamarda jest macierzą Hadamarda.
• Macierz Hadamarda jest macierzą ortogonalną.

Bibliografia

• J. Hadamard, Résolution d’une question relative aux déterminants, Bull. Sci. Math. 2, s. 240–246 (1893).
• J. J. Sylvester, Thoughts on Inverse Orthogonal Matrices, Simultaneous Sign-Successions, and Tesselated Pavements in Two or More Colours, with Applications to Newton’s Rule, Ornamental Tile-Work, and the Theory of Numbers, London Edinburgh and Dublin, Philos. Mag. and J. Sci. 34, s. 461–475 (1867).

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Hadamard Matrix, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).