Masa relatywistyczna

Masa relatywistyczna – wielkość fizyczna wprowadzana w niektórych ujęciach szczególnej teorii względności; jest tożsama, z dokładnością do czynnika (czyli ze współczynnikiem proporcjonalności) c⁻¹, z zerową (czasową) składową czterowektora energii-pędu (czteropędu) danego obiektu fizycznego. Innymi słowy jest równa, z dokładnością do czynnika c⁻², całkowitej energii tego relatywistycznego obiektu.

$m_{r}={\frac {p_{0}}{c}}={\frac {E_{r}}{c^{2}}},$

gdzie:

$m_{r}$ – masa relatywistyczna,

$p_{0}$ – zerowa (czasowa) składowa czteropędu,

$E_{r}$ – energia relatywistyczna,

$c$ – prędkość światła w próżni.

Masa relatywistyczna (relatywistyczna energia całkowita) jest wielkością względną – jej wartość zależy od układu odniesienia. Dlatego nie jest ona niezmiennikiem relatywistycznym. Masa relatywistyczna może zmieniać się bez żadnej zmiany w samym obiekcie fizycznym, wyłącznie przez zmianę układu odniesienia.

Jest to więc wielkość odmienna od masy spoczynkowej, wielkości niezmienniczej i tożsamej, z dokładnością do czynnika $c^{-1},$ z niezmienniczą wartością bezwzględną (długością) czteropędu, i będącej właściwością obiektu.

Dlatego użycie w nazwie masa relatywistyczna terminu masa może wprowadzać w błąd i być przyczyną nieporozumień.

Masa relatywistyczna jest wielkością zachowywaną w przemianach i, w przeciwieństwie do masy spoczynkowej, addytywną, co jednak jest prostą konsekwencją zasady zachowania i addytywności relatywistycznej energii całkowitej.

Wyprowadzenie wzoru

doświadczalnie

Rozważmy zderzenie dwóch kul $B$ i $R$ o tej samej masie $m_{0}$ poruszających się wzdłuż osi $y$ w przeciwnych kierunkach z prędkościami odpowiednio $u_{0}$ i $-u_{0}$ w układach odniesienia$S$ i $S'$. Po zderzeniu kula $B$ zacznie się poruszać w ujemnym kierunku osi $y$ z prędkością $-u_{0}$, a kula $R$ w przeciwieństwie do zasad fizyki klasycznej, oprócz ruchu w dodatnim kierunku osi $y$, także w dodatnim kierunku osi $x$.

Suma pędów obu kul przed i po zderzeniu wzdłuż osi $x$ jest taka sama i wynosi $m_{0}u_{0}$, zatem pęd jest zachowany. Jednak wzdłuż osi $y$:

$\left[p(B)_{y}+p(R)_{y}\right]_{p}=-m_{0}u_{0}+{\frac {m_{0}u_{0}}{\gamma }}$

$\left[p(B)_{y}+p(R)_{y}\right]_{k}=m_{0}u_{0}-{\frac {m_{0}u_{0}}{\gamma }}$

Gdy $\left[p(B)_{y}+p(R)_{y}\right]_{p}=\left[p(B)_{y}+p(R)_{y}\right]_{k}$, to $\gamma =1$ co oznacza sprzeczność.

Aby pęd był zachowany także wzdłuż osi $y$, to musimy założyć, że to masa kul się zmienia. Zatem masy są funkcjami prędkości: $m(B)$ i $m(R)$. Wtedy:

$m(B)u_{0}-{\frac {m(R)u_{0}}{\gamma }}=-m(B)u_{0}+{\frac {m(R)u_{0}}{\gamma }}$

Z tego wynika, że:

$m(B)={\frac {m(R)}{\gamma }}$

analitycznie

Zasada zachowania pędu dla zderzenia dwóch ciał o masach $m_{1}$ i $m_{2}$ poruszających się przed zderzeniem z prędkościami odpowiednio $u_{1}$ i $u_{2}$ w układzie odniesienia $S$ oraz odpowiednio $+u'$ i $-u'$ w układzie odniesienia $S'$, a po zderzeniu z tą samą prędkością $v$ sformułowana jest następująco:

$m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=(m_{1}+m_{2})v$

Uwzględniając relatywistyczne składanie prędkości:

$u_{1}={\frac {u'+v}{1+{\frac {u'v}{c^{2}}}}}$, $u_{2}={\frac {-u'+v}{1-{\frac {u'v}{c^{2}}}}}$

Możemy obliczyć stosunek mas obydwu ciał:

${\frac {m_{1}}{m_{2}}}={\frac {1+{\frac {u'v}{c^{2}}}}{1-{\frac {u'v}{c^{2}}}}}={\frac {\sqrt {1-{\frac {u_{2}^{2}}{c^{2}}}}}{\sqrt {1-{\frac {u_{1}^{2}}{c^{2}}}}}}$

Po podstawieniu: $m_{2}=m_{0}$,$u_{2}=0$, $u_{1}=u$ otrzymujemy:

${\frac {m_{1}}{m_{0}}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

Wzór na masę relatywistyczną można również wyprowadzić na gruncie mechaniki klasycznej, rozważając dwa układy $S$ i $S'$ poruszające się względem siebie w przestrzeni trójwymiarowej z prędkością $v_{x}$ bądź cząstkę o masie $m$ i ładunku $q$ poruszającą się z prędkością $v$ w układzie $S$ (układ $S'$ porusza się względem układu $S$ wzdłuż osi $x$ z prędkością $u$), która poddana jest działaniu pola elektrycznego $E$ i indukcji magnetycznej $B$ .

Obiekty o niezerowej masie spoczynkowej

Wykres zależności masy relatywistycznej od prędkości (wyrażonej jako część prędkości światła w próżni c).

Dla obiektów o niezerowej masie spoczynkowej (ciał) wprowadza się niekiedy wzór:

$m_{r}={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\gamma m_{0}$

gdzie:

$m_{r}$ – masa relatywistyczna,

$m_{0}$ – masa spoczynkowa,

$v$ – prędkość ciała względem danego układu odniesienia,

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$ – czynnik Lorentza.

Wzór ten faktycznie opisuje związek transformacyjny między energią spoczynkową ciała (energią w układzie odniesienia, w którym ciało spoczywa, dla ciał zawsze niezerową), a jego relatywistyczną energią całkowitą (sumą jego energii spoczynkowej i relatywistycznej energii kinetycznej, nietożsamej z klasyczną energią kinetyczną): $E_{r}=\gamma {E_{0}}=\gamma {m_{0}}{c^{2}},$ nie wynikający jednak ze zmian zachodzących „w ciele”, a z transformacyjnych właściwości czasoprzestrzeni (szczególnie dylatacji czasu). Jedynie w układzie, w którym pęd ciała (składowe przestrzenne czteropędu) jest zerowy, relatywistyczna energia całkowita (proporcjonalna do składowej czasowej) jest równa energii spoczynkowej (proporcjonalnej do wartości bezwzględnej czteropędu i do masy spoczynkowej).

Dzięki użyciu pojęcia masy relatywistycznej, w miejsce masy spoczynkowej, możliwe jest pozorne utrzymanie w szczególnej teorii względności klasycznej (newtonowskiej) definicji pędu:

${\vec {p}}=m{\vec {v}}$ – klasyczna definicja pędu,

${\vec {p}}={\frac {E_{r}{\vec {v}}}{c^{2}}}$ – relatywistyczna definicja pędu,

${\vec {p}}=m_{r}{\vec {v}}$ – relatywistyczna definicja pędu „upodobniona” do klasycznej (czyli definicja klasyczna przeniesiona do szczególnej teorii względności).

Masa relatywistyczna rośnie wraz z prędkością ciała względem danego układu odniesienia (aż do nieskończoności przy zbliżaniu się prędkości do prędkości światła w próżni), podczas gdy masa spoczynkowa pozostaje stała.

Obiekty o zerowej masie spoczynkowej

Dla obiektów o zerowej masie spoczynkowej (np. fotonów) niekiedy wprowadza się pojęcie masy relatywistycznej, jako wielkości tożsamej (co do czynnika c⁻²) z ich energią, co jednak może wprowadzać w błąd, gdyż nie może być mowy o jakiejkolwiek bezwładności fotonu mimo jego niezerowego pędu.

Kontrowersje i krytyka pojęcia

Koncepcja masy relatywistycznej jest dyskutowana, krytykowana, broniona. Nadal występuje w wielu podręcznikach i pracach popularyzujących teorię względności. W gronie krytyków znalazł się między innymi astrofizyk teoretyczny i popularyzator Sean M. Carroll.

Historyczno-matematyczna metaanaliza pojęcia masy relatywistycznej została przedstawiona w artykule. Zaproponowano w nim dziesięć równoważnych, ale nietożsamych definicji masy relatywistycznej.

Bibliografia

Książki

• Richard Phillips Feynman, Robert B. Leighton, Matthew Sands: Feynmana wykłady z fizyki. T. 1. Cz. 1: Mechanika, szczególna teoria względności. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2007. ISBN 978-83-0115012-9. ISBN 978-83-0115007-5.
• Michał Heller, Tadeusz Pabjan: Elementy filozofii przyrody. Kraków: Copernicus Center Press, 2014. ISBN 978-83-7886-065-5.
• Mieczysław Sawicki: Elementy teorii względności. Zajęcia fakultatywne w grupie matematyczno-fizycznej. Warszawa: WSiP, 1975.
• Andrzej Szymacha: Zasada względności w fizyce, [w:] Teoria względności. Warszawa: WSiP, 1980.
• Andrzej Szymacha: Szczególna teoria względności. Warszawa: Alfa, 1985. ISBN 83-7001050-4.
• Edwin F. Taylor, John Archibald Wheeler: Fizyka czasoprzestrzeni. Warszawa: PWN, 1975.
• Andrzej Trautman: Względności teoria. W: Wielka encyklopedia powszechna PWN. Wyd. I. T. 12. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1969, s. 585–586.
• W.A. Ugarow: Szczególna teoria względności. Warszawa: PWN, 1985. ISBN 83-0105816-1.
• Andrzej Kajetan Wróblewski, Janusz A. Zakrzewski: Wstęp do fizyki. T. 1. Warszawa: PWN, 1984.

Strony internetowe

• Richard Phillips Feynman, Robert B. Leighton, Matthew Sands: The Feynman Lectures on Physics. California Institute of Technology, 2013. [dostęp 2018-06-25]. (ang.).

Linki zewnętrzne

• Bartłomiej Kamiński, Masa relatywistyczna – artykuł w miesięczniku „Delta”, nr 9 (556) 2020; deltami.edu.pl [dostęp 2021-02-10].
• Grzegorz Marcin Koczan, New definitions of 3D acceleration and inertial mass not violating F=MA in the Special Relativity – artykuł w czasopiśmie „Results in Physics” nr 24 (104121) 2021.