Parametr skali

Parametr skali – parametr rozkładów prawdopodobieństwa, którego zwiększenie $k$ razy powoduje następujące przekształcenie:

• punkty na osi odciętych wykresów dystrybuanty i funkcji rozkładu prawdopodobieństwa danego rozkładu zwiększają odległość od punktu $(\mu ,0)$ $k$ razy,
• dla funkcji rozkładu prawdopodobieństwa oś rzędnych kurczy się $k$ razy względem środka układu współrzędnych. Jest to konieczne, aby całka z funkcji prawdopodobieństwa rozkładu była nadal równa jeden.

Definicja formalna

Jeśli w rodzinie jednowymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa dystrybuanta parametryzowana jest przez dodatnią liczbę rzeczywistą $s$ (obok ewentualnych innych parametrów) i zachodzi:

$F_{s,p_{1},\dots ,p_{n}}(x)=F_{1,p_{1},\dots ,p_{n}}\left({\frac {x-\mu }{s}}+\mu \right),$

gdzie:

$F_{s,p_{1},\dots ,p_{n}}$ – dystrybuanta parametryzowana przez $s,p_{1},\dots ,p_{n},$

$\mu$ – parametr położenia, pewna funkcja parametrów $p_{1},\dots ,p_{n}$ (zazwyczaj równa wartości oczekiwanej),

$x$ – liczba rzeczywista,

to $s$ jest nazywane parametrem skali.

Analogicznie można zdefiniować parametr skali dla rozkładów $N$-wymiarowych – jest on wówczas $N$-elementowym wektorem. W szerszym znaczeniu parametrem skali można nazwać także dowolną liczbę, z której da się obliczyć parametr $s$ zdefiniowany tak jak powyżej.

W niektórych przypadkach (np. rozkład normalny, rozkład Cauchy’ego) rozkład z parametrem położenia 0 i parametrem skali 1 nazywany jest „standardowym”.

Przykłady

• Dla rozkładu normalnego parametrem skali jest odchylenie standardowe, a wartością $\mu$ wartość oczekiwana. Czasem jednak zamiast odchylenia używa się jego kwadratu (wariancji), również nazywając ją parametrem skali (co jest uzasadnione, gdyż odchylenie standardowe da się z niej obliczyć).
• Rozkład gamma ma parametr skali $\theta ,$ choć czasem używa się jego odwrotności.

Zobacz też

• parametr kształtu
• parametr położenia