Koneksja Levi-Civity

(Przekierowano z Połączenie Leviego-Civity)

Koneksja (spójność, połącznie) Levi-Civity – metoda obliczania przesunięcia równoległego wektorów i tensorów zdefiniowana na wiązce stycznej rozmaitości, która zachowuje metrykę (tzn. i jest pozbawiona torsji (skręcenia)), podana przez Levi-Civitę.

Przesuwanie równoległe wektora według procedury Leviego-Civity
Transport zadany metryką
Przesuwanie równoległe wektora według procedury Leviego-Civity
Transport zadany metryką

Podstawowe twierdzenie geometrii Riemanna stwierdza, że dla każdej rozmaitości riemannowskiej i pseudoriemannowskiej istnieje unikalne połączenie o takich właściwościach.

Pojęcie połączenia Levi-Civity łączy się ściśle z pojęciem pochodnej kowariantnej na rozmaitości. Składowe tego połączenia w odniesieniu do lokalnego układu współrzędnych nazywane są symbolami Christoffela.

Definicja formalnaEdytuj

Załóżmy, że   jest rozmaitością riemannowską. Połączenie afiniczne   jest nazywane połączeniem Levi-Civity gdy:

1. zachowuje metrykę, tzn. pochodna kowariantna tensora metrycznego jest równa zeru:
 
Równoważnie, gdy zachodzi równość   dla dowolnych stycznych pól wektorowych  .
2. nie ma skręcenia, tj. tj. dla dowolnych stycznych pól wektorowych   mamy
 
gdzie   to nawias Liego pól wektorowych   oraz  

Warunek 1 jest nazywany kompatybilnością z metryką, a warunek 2 nazywany jest symetrią.

MotywacjaEdytuj

Jako pierwszy przykład rozważmy przestrzeń euklidesową   z bazą standardową   i standardową metryką  , w której baza standardowa jest ortonormalna. Dla dwóch pól stycznych stycznych  ,   określamy standardowe połączenie euklidesowe wzorem:

 

Łatwo sprawdzić bezpośrednio, że określone powyżej przekształcenie   jest połączeniem afinicznym oraz spełnia warunki 1 i 2 na połączenie Levi-Civity.

W drugiej kolejności rozważmy gładką podrozmaitość   z metryką dziedziczoną z otaczającej przestrzeni  . Połączenie afiniczne na   można łatwo określić, korzystając z   – dla pól stycznych   na   możemy mianowicie dobrać dowolne przedłużenia do pól stycznych na   i zadać

 

gdzie   jest rzutem ortogonalnym na przestrzeń styczną do  . Łatwo się przekonać, że określenie   nie zależy od dokonanego wyboru przedłużeń. Nietrudno też sprawdzić, że jest to połączenie Levi-Civity.

Korzystając z twierdzenia Nasha o zanurzeniu izometrycznym, powyższą konstrukcję można wykorzystać do zadania połączenia Levi-Civity na dowolnej rozmaitości rozmaitości riemannowskiej, bez formułowania aksjomatów 1 i 2. Pozostaje jednak problem jednoznaczności (należy wykluczyć sytuację, gdy dwa zanurzenia izometryczne dają różne koneksje) i problem praktycznego opisu koneksji Levi-Civity. Dlatego istnienie i jednoznaczność łatwiej uzyskać na podstawie opisu aksjomatycznego, co opisuje następna sekcja.

Istnienie i jednoznacznośćEdytuj

Załóżmy teraz, że   jest rozmaitością riemannowską. Sprawdzimy najpierw, że istnieje najwyżej jedna połączenie Levi-Civity.

Rozważmy trzy pola styczne  . Z warunku 1 oraz własności symetrii tensora metrycznego   otrzymuje się

 

Na mocy warunku 2 prawa strona równania jest równa

 

więc

  

Iloczyn skalarny   z   jest więc jednoznacznie wyznaczony w terminach samej metryki. Ponieważ pole   można wybrać dowolnie, powyższa równość determinuje pole  .

Istnienie połączenia Levi-Civity również wynika z powyższych rozważań. Mianowicie przyjmując ostatnią linię jako definicję   można sprawdzić, że wyrażenie tak zdefiniowane spełnia warunki na połączenie Levi-Civity.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • Kobayashi: Foundations of differential geometry. John Wiley & Sons, 1963. ISBN 0-470-49647-9.Sprawdź autora:1.