Powierzchnia Kuena – jeden z rzadkich przykładów powierzchni o krzywiźnie Gaussa równej

Animacja przekroju przez powierzchnię Kuena

Jest także specjalnym przykładem powierzchni o ujemnej stałej krzywizny Gaussa, gdyż w przeciwieństwie do innych powierzchni Ennepera (o ujemno-stałych krzywiznach Gaussa) może być opisana parametrycznie używając funkcji elementarnych, a nie tylko funkcji eliptycznych[1].

Wzór powierzchni

edytuj

Powierzchnia może być opisana parametrycznie przy użyciu[2]:

 
 
 

gdzie v ∈ [o,π), u ∈ [o,2π)[3][4]

Przykład obliczeniowy

edytuj

Przykładowe polecenia np. do obliczeń w programie SAGE:

u, v = var('u,v')
parametric_plot3d((2*(cos(u)+u*sin(u))*sin(v)/(1+u*u*sin(v)*sin(v)), 2*(sin(u)-u*cos(u))*sin(v)/(1+u*u*sin(v)*sin(v)), log(tan(v/2))+2*cos(v)/(1+u*u*sin(v)*sin(v)) ), (u,-4, 4), (v, 0.05, pi-0.05))

Związki ze sferą

edytuj
 
Chociaż na pierwszy rzut oka tak nie wygląda, to powierzchnia Kuena jest zbliżona w swej charakterystyce do sfery

Powierzchnia Kuena ma stało-ujemną krzywiznę Gaussa zbliżoną do sfery (która ma stałą dodatnią krzywiznę Gaussa), może być także przykładem jednej z najbardziej skomplikowanych powierzchni o takiej krzywiźnie[2][5][6]. Samo posiadanie takiej krzywizny Gaussa jest rzadkim przypadkiem[7].

Historia odkrycia

edytuj

Przez 2000 lat matematycy szukali dowodu, że inne postulaty Euklidesa logicznie implikowały jego 5. lub Równoległy postulat: „Przez punkt poza daną linią może być narysowana dokładnie jedna równoległa linia.” Ostatecznie w 1826 Nikołaj Łobaczewski, dowiódł, że to bezowocny(daremny) cel. Skonstruował geometrię, która zaspokajała inne postulaty euklidesowskie, ale nie piąty. W jego nowej geometrii jest nieskończenie wiele równoległych linii przez dany punkt. Takie geometrie nazywane są obecnie geometriami Łobaczewskiego, ale bardziej popularnie nazywane hiperbolicznymi, a przestrzenie które je pokazują „pseudosferycznymi”, jak w najprostszym przykładzie pseudosfery. Właśnie najsłynniejszym przykładem jest powierzchnia Kuena, która jest podziwiana za swoje piękno, od czasu odkrycia ok. 150 lat temu[8][9][10]. Powierzchnię tę opisał niemiecki matematyk Theodor Kuen w 1884 roku[11][12][3][13].

Wykorzystanie w mediach i popularność

edytuj
 
Model powierzchni Kuena

Powierzchnia Kuena jest popularna ze względu na jej piękno[6]. Pojawiła się również na okładce prasy na okładce wolumenu 2, numeru 1 „La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española” (1999)[3]. Także pojawiła się na okładce magazynu HPC (High Performance Computing), 24 sierpnia 2001[13].

W 1936 Man Ray został wynajęty przez dziennik artystyczny "Cahiers d’Art", do sfotografowania modeli matematycznych geometrii nieeuklidowskiej znajdujących się w zasobach Instytutu Henri Poincaré w Paryżu. Te modele były pokazywane wśród surrealistycznych i modernistycznych prac w Grand Palais. Fotografie i obrazy Man Raya nazwane "Shakespearean Equations" (równania szekspirowskie) przyczyniły się do upowszechnienia nauki, oraz pokazania światu ich matematycznej elegancji[14].

Bibliografia

edytuj

Kuen’s Surface [online], www.math.hmc.edu [dostęp 2019-05-11] [zarchiwizowane z adresu 2012-01-21].

Przypisy

edytuj
  1. Eric W. Weisstein, Enneper’s Negative Curvature Surfaces, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-14] (ang.).
  2. a b Kuen’s Surface [online], www.math.hmc.edu [dostęp 2019-05-11] [zarchiwizowane z adresu 2012-01-21].
  3. a b c Eric W. Weisstein, Kuen Surface, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2019-05-16] (ang.).
  4. Wolfram|Alpha: Computational Intelligence [online], www.wolframalpha.com [dostęp 2019-05-19] (ang.).
  5. The Sphere [online], www.math.hmc.edu [dostęp 2019-05-11] [zarchiwizowane z adresu 2016-04-10].
  6. a b Kuen Surface [online], virtualmathmuseum.org [dostęp 2019-05-11].
  7. Kuen Surface Model – IC Design [online], icdesign.ch [dostęp 2019-05-11].
  8. 150 lat temu wg stanu na 2015 rok.
  9. https://www.researchgate.net/publication/273449284_Kuen's_Surface.
  10. Palais, Richard. (2015). Kuen’s Surface.
  11. Theodor Kuen, Über Flächen von constantem negativen Krümmungsmaass., Sitzungsber. re. königl. Bayer. Akad Wiss Math.-phys. Classe, Heft II, 193-206, 1884.
  12. Kuen surface [online], www.mathcurve.com [dostęp 2019-05-16] (ang.).
  13. a b Paul Bourke, Kuen surface [online], paulbourke.net [dostęp 2019-05-16] (ang.).
  14. Kuen Surface Model – IC Design [online], icdesign.ch [dostęp 2019-05-13].