Równanie Kortewega-de Vries

Równanie Kortewega-de Vries – nieliniowe równanie różniczkowe cząstkowe opisujące ruch fali w płytkiej wodzie w długim kanale, jak następuje:

$u_{t}+6uu_{x}+u_{xxx}=0.$

Rozwiązanie solitonowe

Załóżmy tzw. niezmienniczość Galileusza rozwiązania $u$ tzn.

$u(x,t)=u(x-vt).$

Podstawiając

$y=x-vt,$

redukujemy równanie cząstkowe do równania różniczkowego zwyczajnego

$-vu_{y}+6uu_{y}+u_{yyy}=0.$

Całkując raz, otrzymujemy

$-vu+3u^{2}+u_{yy}=C.$

Równanie to ma rozwiązanie ($C=0$)

$u(y)={\frac {1}{2}}\,v\,\mathrm {sech} ^{2}\left[{\frac {\sqrt {v}}{2}}y\right].$

Powracając do oryginalnych współrzędnych otrzymujemy rozwiązanie

$u(x,t)={\frac {1}{2}}\,v\,\mathrm {sech} ^{2}\left[{\frac {\sqrt {v}}{2}}(x-v\,t)\right].$

Rozwiązanie to opisuje soliton o niezmiennym kształcie kwadratu funkcji $sech$ podobnym do funkcji Gaussa i poruszający się ze stałą prędkością $v.$