Rozkład jedności – pojęcie używane w matematyce m.in. w topologii, analizie oraz geometrii różniczkowej.

Definicja

edytuj

Rodzinę   funkcji ciągłych   określonych na przestrzeni topologicznej   nazywamy rozkładem jedności, o ile dla każdego   zachodzi   Z warunku tego wynika w szczegolności, że przy ustalonym   zbiór   jest przeliczalny[1].

Rodzaje rozkładów jedności

edytuj
  • Jeżeli pokrycie   przestrzeni   jest lokalnie skończone, to mówimy, że taki rozkład jedności jest lokalnie skończony.
  • Jeżeli pokrycie   jest wpisane w pokrycie   przestrzeni   to mówimy, że rozkład jedności   jest drobniejszy od pokrycia  [1].

Zastosowania

edytuj
  • Ważnym w topologii zastosowaniem rozkładów jedności jest charakteryzacja przestrzeni parazwartych. Dokładniej, dla  -przestrzeni   następujące warunki są równoważne:
a) Przestrzeń   jest parazwarta.
b) Dla każdego pokrycia otwartego przestrzeni   istnieje drobniejszy od niego lokalnie skończony rozkład jedności.
c) Dla każdego pokrycia otwartego przestrzeni   istnieje drobniejszy od niego rozkład jedności[1].

Przypisy

edytuj
  1. a b c Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Warszawa: PWN, 2007, s. 348–349. ISBN 978-83-01-15254-3.