Rodzina lokalnie skończona

Rodzina lokalnie skończona jest pojęciem topologii ogólnej, charakteryzującym rodziny zbiorów przestrzeni topologicznej. Szczególnym przypadkiem rodziny skończonej jest rodzina dyskretna. Uwaga: rodzina dyskretna jest pojęciem różnym od pojęcia zbioru dyskretnego.

DefinicjaEdytuj

Niech   będzie przestrzenią topologiczną. Mówimy, że rodzina   podzbiorów przestrzeni topologicznej   jest lokalnie skończona, gdy dla każdego punktu   istnieje otoczenie   które przecina co najwyżej skończoną liczbę zbiorów z rodziny   (tzn. takie, że zbiór   jest skończony). Jeżeli każdy punkt   ma otoczenie przecinające co najwyżej jeden element rozważanej rodziny, to rodzinę tę nazywamy dyskretną.

Rodzinę zbiorów nazywamy σ-lokalnie skończoną (σ-dyskretną) jeśli jest przeliczalną sumą rodzin lokalnie skończonych (dyskretnych).

WłasnościEdytuj

  • Każda rodzina dyskretna bądź skończona jest lokalnie skończona.
  • Dla każdej rodziny lokalnie skończonej   spełniona jest równość
 
gdzie   jest operacją domknięcia.
  • Jeśli   jest rodziną lokalnie skończoną i wszystkie zbiory z tej rodziny są domknięte (domknięto-otwarte), to   jest zbiorem domkniętym (domknięto-otwartym).
  • Jeśli   jest rodziną lokalnie skończoną (dyskretną), to rodzina   jest również rodziną lokalnie skończoną (dyskretną)[1].

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Engelking, Ryszard; General Topology; Helderman, Berlin 1989, s. 29–31. ​ISBN 3-88538-006-4​.