Szereg geometryczny – szereg postaci
∑
n
=
1
∞
a
q
n
−
1
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }aq^{n-1}\;{}}
a
,
q
∈
R
{\displaystyle {}\;a,q\in \mathbb {R} }
a
{\displaystyle a}
q
{\displaystyle q}
ilorazem szeregu geometrycznego .
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
S
n
=
a
+
a
q
+
…
+
a
q
n
−
1
=
∑
k
=
1
n
a
q
k
−
1
,
n
∈
N
.
{\displaystyle S_{n}=a+aq+\ldots +aq^{n-1}=\sum _{k=1}^{n}aq^{k-1},\quad n\in \mathbb {N} .}
Wartość
n
{\displaystyle n}
S
n
=
a
1
−
q
n
1
−
q
{\displaystyle S_{n}=a{\frac {1-q^{n}}{1-q}}}
q
≠
1
,
{\displaystyle q\neq 1,}
S
n
=
n
a
{\displaystyle S_{n}=na}
q
=
1.
{\displaystyle q=1.}
Dowód. Niech
q
≠
1.
{\displaystyle q\neq 1.}
n
=
1
,
{\displaystyle n=1,}
S
1
=
a
=
a
1
−
q
1
1
−
q
.
{\displaystyle S_{1}=a=a{\frac {1-q^{1}}{1-q}}.}
indukcyjnie , że wzór jest prawdziwy dla
n
.
{\displaystyle n.}
S
n
+
1
=
S
n
+
a
q
n
=
∗
a
1
−
q
n
1
−
q
+
a
q
n
=
a
1
−
q
n
1
−
q
+
a
q
n
1
−
q
1
−
q
=
a
1
−
q
n
+
q
n
−
q
n
+
1
1
−
q
=
a
1
−
q
n
+
1
1
−
q
.
{\displaystyle S_{n+1}=S_{n}+aq^{n}\ \ {\stackrel {*}{=}}\ \ a{\frac {1-q^{n}}{1-q}}+aq^{n}=a{\frac {1-q^{n}}{1-q}}+aq^{n}{\frac {1-q}{1-q}}=a{\frac {1-q^{n}+q^{n}-q^{n+1}}{1-q}}=a{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}.}
W równości oznaczonej gwiazdką „*” wykorzystaliśmy założenie indukcyjne
S
n
=
a
1
−
q
n
1
−
q
.
{\displaystyle S_{n}=a{\frac {1-q^{n}}{1-q}}.}
n
∈
N
.
{\displaystyle n\in \mathbb {N} .}
Jeśli
q
=
1
,
{\displaystyle q=1,}
∑
n
=
1
∞
a
q
n
−
1
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }aq^{n-1}}
a
{\displaystyle a}
n
{\displaystyle n}
S
n
=
a
+
a
+
…
+
a
⏟
n
=
n
a
.
{\displaystyle S_{n}=\underbrace {a+a+\ldots +a} _{n}=na.}
Zbieżność szeregów geometrycznych
edytuj
Szereg geometryczny
∑
n
=
1
∞
a
q
n
−
1
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }aq^{n-1}}
zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy
|
q
|
<
1
{\displaystyle |q|<1}
a
=
0.
{\displaystyle a=0.}
∑
n
=
1
∞
a
q
n
−
1
=
a
1
−
q
.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }aq^{n-1}={\frac {a}{1-q}}.}
Dowód.
Jeśli
|
q
|
<
1
,
{\displaystyle |q|<1,}
lim
n
→
∞
S
n
=
lim
n
→
∞
a
1
−
q
n
1
−
q
=
a
1
−
q
,
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }a{\frac {1-q^{n}}{1-q}}={\frac {a}{1-q}},}
q
n
→
0.
{\displaystyle q^{n}\to 0.}
Jeśli
a
=
0
,
{\displaystyle a=0,}
n
{\displaystyle n}
a
n
=
0
,
{\displaystyle a_{n}=0,}
S
n
=
0
,
{\displaystyle S_{n}=0,}
lim
n
→
∞
S
n
=
0.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=0.}
Od teraz załóżmy, że
a
≠
0.
{\displaystyle a\neq 0.}
Jeśli
|
q
|
>
1
,
{\displaystyle |q|>1,}
|
a
q
n
a
q
n
−
1
|
=
|
q
|
>
1
{\displaystyle {\Bigg |}{\frac {aq^{n}}{aq^{n-1}}}{\Bigg |}=|q|>1}
kryterium d’Alemberta szereg
∑
n
=
1
∞
a
q
n
−
1
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }aq^{n-1}}
Jeśli
q
=
1
,
{\displaystyle q=1,}
lim
n
→
∞
S
n
=
lim
n
→
∞
a
n
=
∞
.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }an=\infty .}
Jeśli
q
=
−
1
,
{\displaystyle q=-1,}
∑
n
=
1
∞
a
q
n
−
1
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }aq^{n-1}}
a
(
−
1
)
n
−
1
.
{\displaystyle a(-1)^{n-1}.}
∑
n
=
1
∞
a
q
n
−
1
=
a
−
a
+
a
−
a
+
a
−
a
+
…
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }aq^{n-1}=a-a+a-a+a-a+\ldots }
Stąd
S
n
=
a
,
{\displaystyle S_{n}=a,}
n
{\displaystyle n}
S
n
=
0
,
{\displaystyle S_{n}=0,}
n
{\displaystyle n}
lim
n
→
∞
S
n
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}}
