Równanie całkowe Fredholma

Równanie całkowe Fredholma – równanie całkowe postaci

$u(x)-\mu \int \limits _{\Omega }k(x,y)u(y)dy=v(x),\;x\in \Omega \;{\mbox{(Fr)}},$

gdzie funkcje $k,v$ oraz liczba $\mu$ są ustalone natomiast funkcja $u$ jest szukana.

Zwykle o zbiorze $\Omega$ zakłada się, że jest otwartym i spójnym podzbiorem przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}.$ Funkcję $k$ nazywamy jądrem. Nakładając na jądro pewne założenia (np. co do całkowalności) można otrzymać wyniki dotyczące istnienia rozwiązań równania Fredholma. Jednym z nich jest twierdzenie Fredholma:

Twierdzenie Fredholma

Niech $k\in L^{2}(\Omega \times \Omega ).$ Wówczas

• Równanie ${\mbox{(Fr)}}$ ma dla każdej prawej strony $v\in L^{2}(\Omega )$ niezerowe rozwiązanie $u\in L^{2}(\Omega )$ wtedy i tylko wtedy, gdy jedynym rozwiązaniem równania

$u(x)-\mu \int \limits _{\Omega }k(x,y)u(y)dy=0,\,({\mbox{Fr}}_{0})$

jest funkcja tożsamościowo równa zeru.

• Jeśli $({\mbox{Fr}}_{0})$ ma niezerowe rozwiązanie $u\in L^{2}(\Omega ),$ to istnieje również niezerowe rozwiązanie $u\in L^{2}(\Omega )$ równania

$u(x)-{\overline {\mu }}\int \limits _{\Omega }{\overline {k(y,x)}}u(y)dy=0,\,{\overline {({\mbox{Fr}}_{0})}},$

ponadto, rozwiązania obu tych równań tworzą skończenie wymiarowe przestrzenie liniowe o równych wymiarach.

• Jeżeli równanie $({\mbox{Fr}}_{0})$ ma niezerowe rozwiązanie $u\in L^{2}(\Omega ),$ to równanie ${\mbox{Fr}}$ ma rozwiązanie $u\in L^{2}(\Omega )$ dla danej prawej strony $v\in L^{2}(\Omega )$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$\int \limits _{\Omega }v(x){\overline {u(x)}}dx=0$

dla każdego $u\in L^{2}(\Omega )$ spełniającego równanie ${\overline {({\mbox{Fr}}_{0})}}.$

• Zbiór wszystkich liczb $\mu$ dla których $({\mbox{Fr}}_{0})$ ma niezerowe rozwiązanie $u\in L^{2}(\Omega )$ jest albo skończony albo tworzy ciąg $(\mu _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ taki, że

$|\mu _{n}|\to \infty .$

Uwagi o dowodzie

Dowód twierdzenia Fredholma opiera się całkowicie na alternatywie Fredholma oraz następującej obserwacji – jeżeli $k\in L^{2}(\Omega \times \Omega )$ oraz

$Au(x)=\int \limits _{\Omega }k(x,y)u(x)dy$

dla $u\in L^{2}(\Omega ),$ to

• operator $A\colon L^{2}(\Omega )\to L^{2}(\Omega )$ jest liniowy i ciągły.
• operator $A$ jest zwarty
• operator $A^{\star }$ jest również zwarty oraz

$A^{\star }v(x)=\int \limits _{\Omega }{\overline {k(y,x)}}v(y)dy,\;v\in L^{2}(\Omega )$

Nazwa równania pochodzi od nazwiska szwedzkiego matematyka Fredholma.

Zobacz też

• równanie całkowe Abela
• równanie całkowe Volterry

Bibliografia

• L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2.