Splot lub produkt splotowy – szczególny rodzaj produktu grup opartego na produkcie półprostym. Splot jest ważnym narzędziem ułatwiającym klasyfikację grup permutacji i konstrukcję interesujących przykładów grup.
Niech i będą grupami działającymi odpowiednio na zbiorach oraz Dla oraz definiuje się następujące permutacje oraz zbioru
oraz
Ponieważ oraz to oraz istotnie są permutacjami, przez co są dobrze określone. Funkcje przy ustalonym oraz są monomorfizmami odpowiednio grup oraz w grupę o obrazach odpowiednio oraz
Splotem lub produktem splotowym grup oraz nazywa się grupę permutacji na generowaną przez i grupy dla wszystkich W zapisie symbolicznym
Ponieważ przekształca w element i nie porusza o ile to z definicji jest
oraz
(1)
Ponadto jeśli to permutacje i nie mogą poruszyć tego samego elementu Wynika stąd, że grupy generują swój iloczyn prosty nazywany zwykle nośnikiem (ang. base group) splotu:
Zgodnie z (1) sprzężenie elementem permutuje składniki proste dokładnie w ten sam sposób, co elementy Skoro elementy oraz nie mogą poruszać tego samego elementu to grupa musi być trywialna. Ponieważ oraz to jest iloczynem półprostym przez w którym automorfizm wyznaczany przez element zadany jest wzorem (1). Dla uproszczenia notacji utożsamia się zwykle element z elementem czyli przyjmuje
Niech będzie grupą permutacji zbioru zaś będzie bijekcją odwzorowującą a funkcją tzn. dla dowolnego zachodzi Wówczas ustanawia podobieństwo oraz Innymi słowy splot jest działaniem łącznym względem podobieństwa grup.
