Niniejsza strona stanowi zwięzłe zestawienie obowiązujących w termodynamice równań i wielkości.
Zmienne sprzężone:
p
{\displaystyle p}
– ciśnienie ,
V
{\displaystyle V}
– objętość ,
T
{\displaystyle T}
– temperatura ,
S
{\displaystyle S}
– entropia ,
μ
{\displaystyle \mu }
– potencjał chemiczny ,
N
{\displaystyle N}
lub
n
{\displaystyle n}
– liczność materii wyrażona jako liczba cząstek lub moli .
Potencjały termodynamiczne :
U
{\displaystyle U}
– energia wewnętrzna ,
A
{\displaystyle A}
– energia swobodna ,
H
{\displaystyle H}
– entalpia ,
G
{\displaystyle G}
– entalpia swobodna .
Własności materiałów:
ρ
{\displaystyle \rho }
– gęstość ,
C
V
{\displaystyle C_{V}}
– pojemność cieplna (przy stałej objętości),
C
p
{\displaystyle C_{p}}
– pojemność cieplna (przy stałym ciśnieniu),
β
T
{\displaystyle \beta _{T}}
– izotermiczny współczynnik ściśliwości ,
β
S
{\displaystyle \beta _{S}}
– adiabatyczny współczynnik ściśliwości ,
α
{\displaystyle \alpha }
– współczynnik rozszerzalności cieplnej .
Inne zmienne konwencjonalne:
w
{\displaystyle w}
– praca ,
q
{\displaystyle q}
– ciepło .
Stałe:
k
B
{\displaystyle k_{\mathrm {B} }}
– stała Boltzmanna ,
R
{\displaystyle R}
– stała gazowa .
Niżej przedstawione równania ułożone są tematycznie
S
=
k
(
ln
Ω
)
{\displaystyle S=k(\ln \Omega )}
d
S
=
δ
q
T
{\displaystyle \mathrm {d} S={\frac {\delta q}{T}}}
δ
Q
=
C
p
d
T
+
l
v
d
v
=
d
U
+
p
d
V
=
T
d
S
{\displaystyle \delta Q=C_{p}\mathrm {d} T+l_{v}\mathrm {d} _{v}=\mathrm {d} U+p\mathrm {d} V=T\mathrm {d} S}
C
p
=
(
∂
U
∂
T
)
p
+
p
(
∂
V
∂
T
)
p
=
(
∂
H
∂
T
)
p
=
T
(
∂
S
∂
T
)
p
{\displaystyle C_{p}=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{p}+p\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}=\left({\frac {\partial H}{\partial T}}\right)_{p}=T\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{p}}
C
V
=
(
∂
U
∂
T
)
V
=
T
(
∂
S
∂
T
)
V
{\displaystyle C_{V}=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}=T\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{V}}
H
≡
U
+
p
V
=
μ
N
+
T
S
{\displaystyle H\equiv U+pV=\mu N+TS}
A
≡
U
−
T
S
=
μ
N
−
p
V
{\displaystyle A\equiv U-TS=\mu N-pV}
G
≡
U
+
p
V
−
T
S
=
H
−
T
S
=
μ
N
{\displaystyle G\equiv U+pV-TS=H-TS=\mu N}
(
∂
T
∂
V
)
S
,
N
=
−
(
∂
p
∂
S
)
V
,
N
{\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{S,N}=-\left({\frac {\partial p}{\partial S}}\right)_{V,N}\qquad {}}
(
∂
T
∂
p
)
S
,
N
=
(
∂
V
∂
S
)
p
,
N
{\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial p}}\right)_{S,N}=\left({\frac {\partial V}{\partial S}}\right)_{p,N}}
(
∂
T
∂
V
)
p
,
N
=
−
(
∂
p
∂
S
)
T
,
N
{\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{p,N}=-\left({\frac {\partial p}{\partial S}}\right)_{T,N}\qquad {}}
(
∂
T
∂
p
)
V
,
N
=
(
∂
V
∂
S
)
T
,
N
{\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial p}}\right)_{V,N}=\left({\frac {\partial V}{\partial S}}\right)_{T,N}}
d
U
=
T
d
S
−
p
d
V
+
μ
d
N
{\displaystyle \mathrm {d} U=T\mathrm {d} S-p\mathrm {d} V+\mu \mathrm {d} N}
d
A
=
−
S
d
T
−
p
d
V
+
μ
d
N
{\displaystyle \mathrm {d} A=-S\,\mathrm {d} T-p\,\mathrm {d} V+\mu \,\mathrm {d} N}
d
G
=
−
S
d
T
+
V
d
p
+
μ
d
N
=
μ
d
N
+
N
d
μ
{\displaystyle \mathrm {d} G=-S\,\mathrm {d} T+V\,\mathrm {d} p+\mu \,\mathrm {d} N=\mu \,\mathrm {d} N+N\,\mathrm {d} \mu }
d
H
=
T
d
S
+
V
d
p
+
μ
d
N
{\displaystyle \mathrm {d} H=T\,\mathrm {d} S+V\,\mathrm {d} p+\mu \,\mathrm {d} N}
K
T
=
−
1
V
(
∂
V
∂
p
)
T
,
N
{\displaystyle K_{T}=-{\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{T,N}}
Tabela równań dla gazu idealnego
edytuj
Inne użyteczne tożsamości
edytuj
Δ
U
=
q
b
y
+
w
o
n
=
q
b
y
−
∫
p
e
x
t
d
V
=
q
b
y
−
p
e
x
t
Δ
V
{\displaystyle \Delta U=q_{\mathrm {by} }+w_{\mathrm {on} }=q_{\mathrm {by} }-\int p_{\mathrm {ext} }\mathrm {d} V=q_{\mathrm {by} }-p_{\mathrm {ext} }\Delta V}
H
=
U
+
p
V
{\displaystyle H=U+pV}
A
=
U
−
T
S
{\displaystyle A=U-TS}
G
=
H
−
T
S
=
∑
i
μ
i
N
i
{\displaystyle G=H-TS=\sum _{i}\mu _{i}N_{i}}
d
U
(
S
,
V
,
n
i
)
=
T
d
S
−
p
d
V
+
∑
i
μ
i
d
N
i
{\displaystyle \mathrm {d} U\left(S,V,{n_{i}}\right)=T\mathrm {d} S-p\mathrm {d} V+\sum _{i}\mu _{i}\mathrm {d} N_{i}}
d
H
(
S
,
p
,
n
i
)
=
T
d
S
+
V
d
p
+
∑
i
μ
i
d
N
i
{\displaystyle \mathrm {d} H\left(S,p,n_{i}\right)=T\mathrm {d} S+V\mathrm {d} p+\sum _{i}\mu _{i}\mathrm {d} N_{i}}
d
A
(
T
,
V
,
n
i
)
=
−
S
d
T
−
p
d
V
+
∑
i
μ
i
d
N
i
{\displaystyle \mathrm {d} A\left(T,V,n_{i}\right)=-S\mathrm {d} T-p\mathrm {d} V+\sum _{i}\mu _{i}\mathrm {d} N_{i}}
d
G
(
T
,
p
,
n
i
)
=
−
S
d
T
+
V
d
p
+
∑
i
μ
i
d
N
i
{\displaystyle \mathrm {d} G\left(T,p,n_{i}\right)=-S\mathrm {d} T+V\mathrm {d} p+\sum _{i}\mu _{i}\mathrm {d} N_{i}}
C
V
=
(
∂
U
∂
T
)
V
=
T
(
∂
S
∂
T
)
V
{\displaystyle C_{V}=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}=T\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{V}}
C
p
=
(
∂
H
∂
T
)
p
{\displaystyle C_{p}=\left({\frac {\partial H}{\partial T}}\right)_{p}}
μ
J
T
=
(
∂
T
∂
p
)
H
{\displaystyle \mu _{JT}=\left({\frac {\partial T}{\partial p}}\right)_{H}}
κ
T
=
−
1
V
(
∂
V
∂
p
)
T
{\displaystyle \kappa _{T}=-{\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{T}}
α
p
=
1
V
(
∂
V
∂
T
)
p
{\displaystyle \alpha _{p}={\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}}
(
∂
H
∂
p
)
T
=
V
−
T
(
∂
V
∂
T
)
p
{\displaystyle \left({\frac {\partial H}{\partial p}}\right)_{T}=V-T\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}}
(
∂
U
∂
V
)
T
=
T
(
∂
p
∂
T
)
V
−
p
{\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p}
H
=
−
T
2
(
∂
(
G
/
T
)
∂
T
)
p
{\displaystyle H=-T^{2}\left({\frac {\partial \left(G/T\right)}{\partial T}}\right)_{p}}
U
=
−
T
2
(
∂
(
A
/
T
)
∂
T
)
V
{\displaystyle U=-T^{2}\left({\frac {\partial \left(A/T\right)}{\partial T}}\right)_{V}}
Jest to przykład wykorzystujący wyżej przedstawioną metodę:
(
∂
T
∂
p
)
H
=
−
1
C
p
(
∂
H
∂
p
)
T
{\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial p}}\right)_{H}=-{\frac {1}{C_{p}}}\left({\frac {\partial H}{\partial p}}\right)_{T}}
(
∂
T
∂
p
)
H
(
∂
p
∂
H
)
T
(
∂
H
∂
T
)
p
=
−
1
{\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial p}}\right)_{H}\left({\frac {\partial p}{\partial H}}\right)_{T}\left({\frac {\partial H}{\partial T}}\right)_{p}=-1}
(
∂
T
∂
p
)
H
=
−
(
∂
H
∂
p
)
T
(
∂
T
∂
H
)
P
{\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial p}}\right)_{H}=-\left({\frac {\partial H}{\partial p}}\right)_{T}\left({\frac {\partial T}{\partial H}}\right)_{P}}
=
−
1
(
∂
H
∂
T
)
p
(
∂
H
∂
p
)
T
;
{\displaystyle ={\frac {-1}{\left({\frac {\partial H}{\partial T}}\right)_{p}}}\left({\frac {\partial H}{\partial p}}\right)_{T};}
C
p
=
(
∂
H
∂
T
)
p
{\displaystyle C_{p}=\left({\frac {\partial H}{\partial T}}\right)_{p}}
⇒
(
∂
T
∂
p
)
H
=
−
1
C
p
(
∂
H
∂
p
)
T
{\displaystyle \Rightarrow \left({\frac {\partial T}{\partial p}}\right)_{H}=-{\frac {1}{C_{p}}}\left({\frac {\partial H}{\partial p}}\right)_{T}}
Inny przykład:
C
V
=
T
(
∂
S
∂
T
)
V
{\displaystyle C_{V}=T\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{V}}
U
=
q
+
w
{\displaystyle U=q+w}
d
U
=
δ
q
r
e
v
+
δ
w
r
e
v
;
d
S
=
δ
q
r
e
v
T
,
δ
w
r
e
v
=
−
p
d
V
{\displaystyle \mathrm {d} U=\delta q_{\mathrm {rev} }+\delta w_{\mathrm {rev} };\mathrm {d} S={\frac {\delta q_{\mathrm {rev} }}{T}},\delta w_{\mathrm {rev} }=-p\mathrm {d} V}
=
T
d
S
−
p
d
V
{\displaystyle =T\mathrm {d} S-p\mathrm {d} V}
(
∂
U
∂
T
)
V
=
T
(
∂
S
∂
T
)
V
−
p
(
∂
V
∂
T
)
V
;
C
V
=
(
∂
U
∂
T
)
V
{\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}=T\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{V}-p\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{V};C_{V}=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}}
⇒
C
V
=
T
(
∂
S
∂
T
)
V
{\displaystyle \Rightarrow C_{V}=T\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{V}}