Twierdzene Kryłowa-Bogolubowa

W matematyce, twierdzenie Kryłowa-Bogolubowa (zwane również twierdzeniem o istnieniu miar niezmienniczych) jest wynikiem z zakresu teorii układów dynamicznych. Twierdzenie ma charakter egzystencjalny, mówi o tym, kiedy do danego układu dynamicznego można przyłączyć miarę probabilistyczną, niezmienniczą ze względu na przekształcenie w układzie, ale nie podaje tego, jakie wartości przyjmuje miara. Dodatkowo, twierdzenie nie podaje, ile dokładnie różnych takich miar istnieje.

Treść twierdzenia

Niech $(X,\tau )$ będzie zwartą, metryzowalną przestrzenią topologiczną, a $T\colon X\to X$ będzie odwzorowaniem ciągłym. Oznaczmy przez ${\mathcal {B}}_{X}$ σ-algebrę borelowską przestrzeni $X$. Wówczas dla układu dynamicznego $(X,T)$ istnieje borelowska probabilistyczna miara $T-$niezmiennicza $\mu$ taka, że $(X,{\mathcal {B}}_{X},T,\mu )$ tworzy układ dynamiczny zachowujący miarę.

Oznacza to, że istnieje przynajmniej jedna miara $\mu \colon {\mathcal {B}}_{X}\to [0,1]$ taka, że $\mu (T^{-1}A)=\mu (A)$ dla dowolnego $A\in {\mathcal {B}}_{X}$.