Twierdzenie Gliwienki-Cantellego

Twierdzenie Gliwienki-Cantellego – twierdzenie rachunku prawdopodobieństwa opisujące asymptotyczne zachowanie dystrybuanty empirycznej w miarę wzrostu liczebności próby losowej[1]. Zgodnie z tym twierdzeniem dystrybuanta empiryczna zbiega jednostajnie do prawdziwej dystrybuanty prawie na pewno (p.n.). Twierdzenie Gliwienki-Cantellego nazywane jest podstawowym twierdzeniem statystyki matematycznej[2].

Dystrybuanta empiryczna

edytuj

Dla niezależnych rzeczywistych zmiennych losowych   o jednakowym rozkładzie określonym dystrybuantą   dystrybuanta empiryczna   zdefiniowana jest następująco:

 ,

gdzie   oznacza funkcję charakterystyczną (indykator) zbioru  

Twierdzenie

edytuj

Niech

 .

Jeżeli próba   pochodzi z rozkładu o dystrybuancie  , to   z prawdopodobieństwem 1, gdy  

Dla ułatwienia rozważmy ciągłą zmienną losową  . Ustalmy  , aby   dla . Teraz dla każdego   istnieje  , takie że  .

 

Stąd

 

Ponieważ na podstawie mocnego prawa wielkich liczb  , możemy zapewnić, że dla dowolnego dodatniego   i dowolnej liczby całkowitej  , takiej że  , można znaleźć   taką że dla każdego  , mamy   W powiązaniu z powyższym rezultatem, oznacza to dalej, że  , co było do okazania.

Przypisy

edytuj
  1. Howard G. Tucker, A Generalization of the Glivenko-Cantelli Theorem, „The Annals of Mathematical Statistics”, 30 (3), 1959, s. 828–830, DOI10.1214/aoms/1177706212, ISSN 0003-4851 [dostęp 2024-05-08].
  2. a b Ryszard Zieliński, Siedem wykładów wprowadzających do statystyki matematycznej [online], 2004.