Twierdzenie Kaplansky’ego
Twierdzenie Kaplansky’ego (twierdzenie Kaplansky’ego-Cohena) - twierdzenie teorii pierścieni, udowodnione przez Irvinga Kaplansky’ego[1], mówiące iż dla danego noetherowskiego pierścienia przemiennego R następujące warunki są równoważne
- każdy ideał pierścienia R jest główny;
- każdy ideał maksymalny pierścienia R jest główny.
Twierdzenie Kaplansky’ego jest wariantem innego twierdzenia Cohena[2] mówiącego, iż dla danego pierścienia przemiennego R następujące warunki są równoważne:
- każdy ideał pierścienia R jest skończenie generowany;
- każdy ideał pierwszy pierścienia R jest skończenie generowany.
Często obydwa twierdzenia bywają nazywane łącznie twierdzeniem Kaplansky’ego-Cohena. Istnieją wersje tego twierdzenia dla pierścieni nieprzemiennych[3][4][5][6].
Przypisy edytuj
- ↑ I. Kaplansky, Elementary divisors and modules, Trans. Amer. Math. Soc. 66 (1949), 464–491.
- ↑ I.S. Cohen, Commutative rings with restricted minimum condition, Duke Math. J. 17 (1950), 27–42.
- ↑ G.O. Michler, Prime right ideals and right noetherian rings, Ring theory (Proc. Conf., Park City, Utah, 1971), Academic Press, New York, 1972, 251-255.
- ↑ T.Y. Lam, M.L. Reyes, A Prime Ideal Principle in commutative algebra. J. Algebra 319 (2008), 3006–3027.
- ↑ M.L. Reyes, A one-sided Prime Ideal Principle for noncommutative rings, J. Algebra Appl. 9 (2010), no. 6, 877-919.
- ↑ M.L. Reyes, Noncommutative Generalizations of Theorems of Cohen and Kaplansky, Algebras and Representation Theory, October 2012, 15, Issue 5, 933-975.