Twierdzenie Milmana-Pettisa

Twierdzenie Milmana-Pettisa – w analizie funkcjonalnej, twierdzenie mówiące, że jednostajnie wypukłe przestrzenie Banacha są refleksywne. Twierdzenie zostało udowodnione niezależnie przez Milmana i Pettisa. Inne dowody podali także Kakutani oraz Ringrose.

Dowód Ringrose’a

Niech $X$ będzie jednostajnie wypukłą przestrzenią Banacha włożoną w sposób kanoniczny w drugą przestrzeń sprzężoną $X^{**}.$ Niech $x^{**}$ będzie elementem $X^{**}$ o normie 1. Refleksywność przestrzeni $X$ oznacza, że $x^{**}$ należy do $X,$ co należy wykazać.

Ponieważ kula jednostkowa $B_{X}$ przestrzeni $X$ jest domknięta w $X^{**}$ wystarczy wykazać, że dla każdego $\varepsilon >0$ istnieje taki element $x\in B_{X},$ że $\|x^{**}-x\|<\varepsilon .$ Dla $\varepsilon >0$ niech

$\delta =\inf\{\gamma >0\colon \forall w,z\in B_{X}\;\|w-z\|\geqslant \varepsilon \Rightarrow \|{\tfrac {1}{2}}(w+z)\|\leqslant 1-\gamma \}.$

Ponieważ $\|x^{**}\|=1,$ istnieje takie $f\in X^{*}$ o normie 1, że

$\langle x^{**},f\rangle >1-{\tfrac {\delta }{2}}.$

Niech

$V=\{y^{**}\in X^{**}\colon \langle y^{**}-x^{**},f^{*}\rangle <{\frac {\delta }{2}}\}.$

Wówczas $V$ jest zbiorem otwartym w sensie *-słabej topologii w $X^{**}.$ Z twierdzenia Goldstine’a wynika, że istnieje $x$ który należy do zbioru $V\cap B_{X}.$ Wystarczy zatem wykazać, że $\|x^{**}-x\|<\varepsilon .$ Gdyby tak nie było, to zbiór

$W=X^{**}\setminus (x+\varepsilon B_{X^{**}})$

byłby *-słabo otwarty oraz $x^{**}$ byłby jego elementem. Z twierdzenia Goldstine’a wynikałoby, że

$V\cap W\cap B_{X^{**}}\neq \varnothing .$

Niech zatem $y$ będzie dowolnym elementem tego zbioru. Z określenia $\|y-x\|\geqslant \varepsilon .$ Z jednostajnej wypukłości wynika zatem, że

$\|{\tfrac {1}{2}}(x+y)\|\leqslant 1-\delta .$

Jednak w szczególności $x,y\in V,$ a zatem

$\langle x-x^{**},f\rangle ,\langle y-x^{**},f^{*}\rangle <{\frac {\delta }{2}}.$

Wynika stąd, że

$2\langle x^{**},f\rangle <{\tfrac {\delta }{2}}+\langle x,f\rangle +{\tfrac {\delta }{2}}+\langle y,f\rangle =\delta +\langle x+y,f\rangle .$

W konsekwnecji,

$1-{\tfrac {\delta }{2}}<{\tfrac {\delta }{2}}+\langle {\tfrac {x+y}{2}},f\rangle .$

Ostatecznie

$1-\delta <\langle {\tfrac {x+y}{2}},f\rangle \leqslant {\tfrac {1}{2}}\|x+y\|,$

co prowadzi do sprzeczności z jednostajną wypukłością $X$.

Bibliografia

• Charles Chidume, Geometric Properties of Banach. Spaces and Nonlinear Iterations, Springer London Ltd., 2009.
• Haim Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Universitext. Springer, New York, 2011.
• Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag: New York, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.brak strony w książce