Twierdzenie Słuckiego

Twierdzenie Słuckiego – w teorii prawdopodobieństwa, twierdzenie o zachowywaniu własności algebraicznych przez granice par ciągów zmiennych losowych z których pierwszy jest zbieżny według rozkładu a drugi zbieżny według prawdopodbieństwa do pewnej stałej. Twierdzenie udowodnione w 1925 przez rosyjskiego matematyka, Jewgienija Słuckiego; przypisywane także Cramérowi.

Twierdzenie

Niech $(X_{n})_{n=1}^{\infty },(Y_{n})_{n=1}^{\infty }$ będą ciągami rzeczywistych zmiennych losowych określonych na wspólnej przestrzeni probabilistycznej. Jeżeli

• ciąg $(X_{n})_{n=1}^{\infty }$ jest zbieżny według rozkładu do pewnej zmiennej losowej $X$ (symbolicznie $X_{n}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}X$),
• ciąg $(Y_{n})_{n=1}^{\infty }$ jest zbieżny według prawdopodobieństwa do pewnej stałej $c$ (symbolicznie $Y_{n}{\stackrel {p}{\longrightarrow }}c$),

to

• $X_{n}+Y_{n}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}X+c.$
• $X_{n}\cdot Y_{n}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}c\cdot X,$

oraz w przypadku $c\neq 0$

• $X_{n}Y_{n}^{-1}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}X\cdot c^{-1}$.

Bibliografia

• Allan Gut, Probability: a graduate course. Springer-Verlag, 2005. ISBN 0-387-22833-0.
• E.B. Manoukian, Mathematical Nonparametric Statistics, Gordon & Breach, New York, 1986.