Wahanie kwadratowe

Wariacja kwadratowa a. wahanie kwadratowe (procesu stochastycznego) – pojęcie analizy stochastycznej używane w analizie ruchu Browna i innych martyngałów.

Definicja

Niech $X=(X_{t})_{t\geqslant 0}$ będzie rzeczywistym procesem stochastycznym na pewnej przestrzeni probabilistycznej. Jeżeli dla każdego $t$ istnieje granica w sensie zbieżności według prawdopodobieństwa

$[X]_{t}=\lim _{\|\Pi \|\to 0}\sum _{k=1}^{n}(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}})^{2},$

(A)

gdzie $\Pi$ jest dowolnym rozbiciem przedziału $[0,t]$ postaci

$t_{0}=0<t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{n-1}<t_{n}=t,$

przy czym

$\|\Pi \|=\max\{t_{k}-t_{k-1}\colon k=1,\dots ,n\},$

to proces $[X]=([X_{t}])_{t\geqslant 0}$ (inne oznaczenie: $\langle X\rangle =(\langle X_{t}\rangle )_{t\geqslant 0}$) nazywany jest wariacją (bądź wahaniem) kwadratowym procesu $(X_{t})_{t\geqslant 0}.$

Ogólniej, dla pary procesów $X=(X_{t})_{t\geqslant 0},Y=(Y_{t})_{t\geqslant 0}$ zdefiniowanych na tej samej przestrzeni probabilistycznej definiuje się ich kowariację wzorem

$[X,Y]_{t}=\lim _{\|\Pi \|\to 0}\sum _{k=1}^{n}\left(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}\right)\left(Y_{t_{k}}-Y_{t_{k-1}}\right)\quad (t\geqslant 0).$

o ile tylko odpowiednie granice istnieją w sensie zbieżności według prawdopodobieństwa. Z tożsamości polaryzacyjnej wynika wówczas, że

$[X,Y]_{t}={\tfrac {1}{4}}([X+Y]_{t}-[X-Y]_{t})\quad (t\geqslant 0).$

Procesy Itô

Wariacja kwadratowa procesu Wienera $B$ istnieje i wynosi

$[B_{t}]=t\quad (t\geqslant 0).$

Stwierdzenie to uogólnia się na inne procesy Itô, tzn. procesy, które można przedstawić w postaci

$X_{t}=X_{0}+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\,\mathrm {d} B_{s}+\int _{0}^{t}\mu _{s}\,\mathrm {d} s,$

gdzie $B$ jest procesem Wienera. Wówczas

$[X]_{t}=\int _{0}^{t}\sigma _{s}^{2}\,\mathrm {d} s.$

Bibliografia

• Rafał Latała, Wstęp do Analizy Stochastycznej, Uniwersytet Warszawski, 2011.