Zakaz usuwania

Zakaz usuwania (ang. no-deleting theorem) – twierdzenie mówiące, że mając dwie kopie nieznanego stanu kwantowego nie można usunąć jednej z nich. Jest dopełnieniem zakazu klonowania, zgodnie z którym nie można skopiować nieznanego stanu kwantowego, jak i zakazu ukrywania, zgodnie z którym informacja kwantowa usunięta z systemu kwantowego do środowiska nie może pozostawać w korelacji pomiędzy systemem a środowiskiem.

Twierdzenie

Poszukujemy transformacji pozwalającej na usunięcie jednej z dwóch kopii nieznanego stanu kwantowego $|\psi \rangle$ (zob. Notacja Diraca) poprzez zastąpienie jej stanem standardowym $|0\rangle .$ W odróżnieniu od twierdzenia o zakazie klonowania wprowadzamy tu dodatkowy kubit pomocniczy $|A\rangle _{C}$ określający stan maszyny usuwającej i dopuszczamy możliwość zmiany stanu $|A\rangle _{C}$ na $|A_{\psi }\rangle _{C}$ w wyniku tej transformacji.

Twierdzenie: Nie istnieje uniwersalna liniowa i izometryczna (nie zakładamy, że unitarna) transformacja

$|\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B}|A\rangle _{C}\to |\psi \rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{\psi }\rangle _{C},$

w wyniku działania której dowolny, nieznany stan $|\psi \rangle _{B}$ zostałby zastąpiony stanem $|0\rangle _{B},$ tj. usunięty.

Dowód: Rozważmy usuwanie pojedynczego kubitu:

$|\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle .$

Transformacja, której poszukujemy powinna usunąć kopię $|\psi \rangle _{B}$ tego kubitu w każdym z jego stanów standardowych $|0\rangle$ i $|1\rangle ,$ tj.

$|0\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A\rangle _{C}\to |0\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{0}\rangle _{C},$

$|1\rangle _{A}|1\rangle _{B}|A\rangle _{C}\to |1\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{1}\rangle _{C}.$

Dla kubitu o dowolnym stanie na jej wejściu mamy:

$|\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B}|A\rangle _{C}=\alpha ^{2}|0\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A\rangle _{C}+\beta ^{2}|1\rangle _{A}|1\rangle _{B}|A\rangle _{C}+\alpha \beta |0\rangle _{A}|1\rangle _{B}|A\rangle _{C}+\alpha \beta |1\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A\rangle _{C}.$

Z drugiej strony, ponieważ poszukiwana transformacja jest liniowa, wykorzystując jej zamierzone działanie dla stanów spolaryzowanych, na jej wyjściu otrzymamy:

$\to \alpha ^{2}|0\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{0}\rangle _{C}+\beta ^{2}|1\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{1}\rangle _{C}+{\sqrt {2}}\alpha \beta |\Phi \rangle _{ABC},$

stosując transformację:

$(|0\rangle _{A}|1\rangle _{B}|A\rangle _{C}+|1\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A\rangle _{C})/{\sqrt {2}}\to |\Phi \rangle _{ABC}.$

gdzie $|\Phi \rangle _{ABC}$ oznacza dowolny znormalizowany stan kwantowy niezależny od $\alpha$ i $\beta .$

Definicja poszukiwanej transformacji usuwającej zakłada jednak, że w wyniku jej działania powinniśmy otrzymać:

$\to |\psi \rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{\psi }\rangle _{C}=(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )|0\rangle _{B}|A_{\psi }\rangle _{C}.$

Ponieważ stan $|\Phi \rangle _{ABC}$ jest niezależny od $\alpha$ i $\beta$ zatem stan $|A_{\psi }\rangle _{C}$ musi być od nich liniowo zależny:

$|A_{\psi }\rangle _{C}=\alpha |A_{0}\rangle _{C}+\beta |A_{1}\rangle _{C},$

skąd:

$|\Phi \rangle _{ABC}=(|0\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{1}\rangle _{C}+|1\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{0}\rangle _{C})/{\sqrt {2}}.$

Ponadto stan wynikowy powinien być znormalizowany dla wszystkich $\alpha$ i $\beta ,$ co oznacza, że stany $|A_{0}\rangle _{C}$ i $|A_{1}\rangle _{C}$ muszą być ortogonalne. Tym samym liniowość mechaniki kwantowej zapewnia, że poszukiwana transformacja nie usuwa stanu $|\psi \rangle _{B}=\alpha |0\rangle _{B}+\beta |1\rangle _{B},$ a jedynie zamienia go na kubit pomocniczy $|A_{\psi }\rangle _{C}{:}$

$|\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B}|A\rangle _{C}\to |\psi \rangle _{A}|0\rangle _{B}(\alpha |A_{0}\rangle _{C}+\beta |A_{1}\rangle _{C}).$

Zobacz też

• zakaz klonowania
• zakaz ukrywania
• zasada Landauera