Zbiór spolaryzowany
Zbiór spolaryzowany – zbiór częściowo uporządkowany, w którym dla dowolnych dwóch elementów takich, że można znaleźć które ogranicza z dołu, ale i nie da się jednocześnie ograniczyć z dołu.
Definicja formalna
edytujOkreśla się relację na zbiorze Zbiorem spolaryzowanym nazywa się parę gdy spełnione są następujące warunki:
Pierwsze trzy warunki definiują częściowy porządek. Ostatnia formuła jest warunkiem charakterystycznym zbiorów spolaryzowanych.
Elementy zbioru spolaryzowanego czasami określa się warunkami. Jeżeli zbiór spolaryzowany nie ma elementów minimalnych, to nazywany jest bezatomowym.
Przykład
edytujNiech Para gdzie jest relacją inkluzji, jest zbiorem spolaryzowanym. Wiadomo, że relacja inkluzji jest częściowym porządkiem. Wystarczy sprawdzić warunek charakterystyczny. Widać, że singletony są elementami minimalnymi tego porządku, więc nie da się ich wspólnie ograniczyć. Dla wybierane jest Jedynym elementem ograniczającym z dołu jest on sam i nie jest on ograniczeniem Analogicznie postępuje się dla pozostałych dubletów. Natomiast, gdy przyjmuje się Argument jest taki sam jak poprzednio. W pozostałych przypadkach postępowanie jest podobne.
Algebry Boole’a
edytujNiech będzie algebrą Boole’a. Definiuje się relację w sposób następujący: Para jest zbiorem spolaryzowanym.
Dowód
edytujTak określona relacja jest częściowym porządkiem. Niech będą dowolne i Z definicji relacji: Niech Widać, że czyli Wynika z tego też, że ponieważ Przyjmuje się teraz dowolne tj. czyli Ostatecznie sprawdza się, że więc jedynym wspólnym ograniczeniem dolnym i jest które nie należy do rozważanego zbioru, co dowodzi ostatniej własności relacji.
Topologia zbiorów spolaryzowanych
edytujNiech będzie zbiorem spolaryzowanym. Definiuje się gdzie jest dowolnym warunkiem. Rodzina jest bazą topologii zbioru spolaryzowanego. Każdy zbiór jest dziedziną otwartą w jako przestrzeni topologicznej.
Zobacz też
edytujBibliografia
edytuj- Wojciech Guzicki, Paweł Zbierski: Podstawy teorii mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, s. 33.