Zmodyfikowana transformata Z

Zmodyfikowana transformata Z (oznaczana Z_m) – odmiana transformaty Z, pozwalająca wyznaczyć oryginał transformaty dyskretnej w chwilach niebędących chwilami próbkowania, dzięki fikcyjnemu opóźnieniu funkcji $f(t)$ o odcinek $\Delta T.$ Jest to korzystne w momencie, gdy dla dwóch różnych funkcji $f_{1}(t)$ i $f_{2}(t)$ otrzymuje się te same transformaty Z: $F_{1}(z)=F_{2}(z).$

Zmieniając opóźnienie $\Delta T$ w sposób ciągły, w granicach od 0 do $T,$ można uzyskać wartości funkcji $f(t)$ nie tylko dla $t=kT\ (k=1,2,...),$ ale również dla wszystkich wartości czasu:

$t=(k-\Delta )T\ \ \ {\mbox{ dla }}0\leqslant \Delta \leqslant 1.$

Dogodnie jest stosować podstawienie:

$\Delta =1-m\ \ \ {\mbox{ dla }}0\leqslant m\leqslant 1,$

w wyniku którego otrzymuje się:

$t=(k-1+m)T.$

Zmodyfikowana transformata Z definiowana jest wzorem:

$F(z,m)=Z_{m}\{f[(k-1+m)T]\}=\sum _{k=0}^{\infty }f[(k-1+m)T]z^{-k}.$

W szczególności dla m = 1 otrzymuje się zwykłą transformatę Z:

$F(z,m)=\sum _{k=0}^{\infty }f(kT)z^{-k}=F(z).$

Tabela transformat Z_m

f(t)	F(z,m)
1(t)	${\frac {z}{z-1}}$
t	${\frac {mT}{z-1}}+{\frac {T}{(z-1)^{2}}}$
e−at	${\frac {e^{-amT}}{z-e^{-aT}}}$
1 – e−at	${\frac {1}{z-1}}+{\frac {e^{-amT}}{z-e^{-aT}}}$
sin ωt	${\frac {z\sin {(m\omega T)}+\sin {[(1-m)\omega T]}}{z^{2}-2z\cos {\omega T}+1}}$

Zobacz też

• transformata Fouriera
• dyskretna transformata Fouriera
• transformata Laplace’a
• odwrotna transformata Laplace’a
• transformata Z
• odwrotna transformata Z