Algebrę ℨ można opisać jako granicę prostą algebr
I
[
m
0
,
m
,
m
1
]
{\displaystyle \mathrm {I} [m_{0},m,m_{1}]}
opisanych niżej.
Niech
m
0
,
m
,
m
1
{\displaystyle m_{0},m,m_{1}}
są takimi liczbami naturalnymi, że
m
0
{\displaystyle m_{0}}
i
m
1
{\displaystyle m_{1}}
dzielą
m
{\displaystyle m}
oraz niech
I
[
m
1
,
m
,
m
2
]
=
{
f
∈
C
(
[
0
,
1
]
,
M
m
)
:
f
(
0
)
∈
M
m
m
0
,
f
(
1
)
∈
M
m
m
1
}
.
{\displaystyle \mathrm {I} [m_{1},m,m_{2}]=\left\{f\in C\left([0,1],M_{m}\right)\colon f(0)\in M_{\frac {m}{m_{0}}},f(1)\in M_{\frac {m}{m_{1}}}\right\}.}
Wówczas
I
[
m
0
,
m
,
m
1
]
{\displaystyle \mathrm {I} [m_{0},m,m_{1}]}
jest C*-algebrą, która nie ma nietrywialnych rzutów wtedy i tylko wtedy, gdy liczby
m
0
{\displaystyle m_{0}}
i
m
1
{\displaystyle m_{1}}
są względnie pierwsze .
Niech
A
=
I
[
m
0
,
m
,
m
1
]
.
{\displaystyle A=\mathrm {I} [m_{0},m,m_{1}].}
Wówczas
(
K
0
(
A
)
,
K
0
(
A
)
+
,
[
1
A
]
)
=
(
Z
,
N
,
nwd
(
m
0
,
m
1
)
)
,
{\displaystyle (K_{0}(A),K_{0}(A)^{+},[1_{A}])=(\mathbb {Z} ,\mathbb {N} ,{\text{nwd}}(m_{0},m_{1})),}
K
1
(
A
)
=
Z
p
,
{\displaystyle K_{1}(A)=\mathbb {Z} _{p},}
gdzie
p
=
m
⋅
nwd
(
m
0
,
m
1
)
/
(
m
0
m
1
)
.
{\displaystyle p=m\cdot {\text{nwd}}(m_{0},m_{1})/(m_{0}m_{1}).}
gdzie:
nwd
{\displaystyle {\text{nwd}}}
– największy wspólny dzielnik .
W szczególności
A
=
I
[
m
0
,
m
,
m
1
]
{\displaystyle A=\mathrm {I} [m_{0},m,m_{1}]}
ma taką samą K-teorię jak
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
wtedy i tylko wtedy, gdy
m
0
{\displaystyle m_{0}}
i
m
1
{\displaystyle m_{1}}
są względnie pierwsze.
Istnieje ciąg induktywny
A
1
⟶
ϕ
1
A
2
⟶
ϕ
2
A
3
⟶
ϕ
3
…
,
{\displaystyle A_{1}\,{\stackrel {\phi _{1}}{\longrightarrow }}\,A_{2}\,{\stackrel {\phi _{2}}{\longrightarrow }}\,A_{3}\,{\stackrel {\phi _{3}}{\longrightarrow }}\dots ,}
gdzie
A
n
=
I
[
p
n
,
d
n
,
q
n
]
,
nwd
(
p
p
,
q
n
)
=
1
{\displaystyle A_{n}=\mathrm {I} [p_{n},d_{n},q_{n}],{\text{nwd}}(p_{p},q_{n})=1}
oraz odwzorowania
ϕ
m
,
n
=
ϕ
n
−
1
∘
.
.
.
∘
ϕ
m
+
1
∘
ϕ
m
:
A
m
→
A
n
{\displaystyle \phi _{m,n}=\phi _{n-1}\circ ...\circ \phi _{m+1}\circ \phi _{m}:A_{m}\to A_{n}}
są postaci
ϕ
m
,
n
(
f
)
=
u
∗
[
f
∘
ξ
1
0
…
0
0
f
∘
ξ
2
…
0
⋮
⋮
⋮
0
0
…
f
∘
ξ
n
]
u
,
{\displaystyle \phi _{m,n}(f)=u^{*}\left[{\begin{array}{c}f\circ \xi _{1}&0&\ldots &0\\0&f\circ \xi _{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&\ldots &f\circ \xi _{n}\end{array}}\right]u,}
przy czym
u
{\displaystyle u}
jest pewną ciągłą drogą w grupie
U
(
d
n
)
{\displaystyle U(d_{n})}
macierzy unitarnych stopnia
d
n
{\displaystyle d_{n}}
oraz
(
ξ
k
)
k
⩽
n
{\displaystyle (\xi _{k})_{k\leqslant n}}
jest takim ciągiem ciągłych dróg w przedziale [0,1], że
|
ξ
i
(
x
)
−
ξ
i
(
y
)
|
⩽
(
1
2
)
n
−
m
(
x
,
y
∈
[
0
,
1
]
,
i
⩽
n
)
.
{\displaystyle |\xi _{i}(x)-\xi _{i}(y)|\leqslant \left({\frac {1}{2}}\right)^{n-m}\;\;(x,y\in [0,1],i\leqslant n).}
Algebra ℨ jest granicą induktywną powyższego ciągu przy czym jest ona jednoznaczna ze względu na dobór ciągu algebr
A
1
,
A
2
,
A
3
,
.
.
.
{\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},...}
jak wyżej.