C*-algebra nuklearna

C*-algebra nuklearna – rozpatrywana w analizie funkcjonalnej C*-algebra A o tej własności, że dla każdej innej C*-algebry B minimalny i maksymalny iloczyn są równe, tj.

W szczególności oznacza to, że w (algebraicznym) iloczynie tensorowym AB można wprowadzić jednoznacznie wyznaczoną C*-normę. Uzupełniony iloczyn tensorowy algebry nuklearnej A z dowolną algebrą B oznacza się również symbolem AB. Pojęcie zostało wprowadzone przez M. Takesakiego[1].

Przykłady

edytuj
  • Algebry macierzy zespolonych Mn, oraz ogólniej, skończenie wymiarowe C*-algebry są nuklearne.
  • Algebra operatorów zwartych na dowolnej przestrzeni Hilberta jest nuklearna. Ogólniej, C*-algebry typu I są nuklearne.
  • Przemienne C*-algebry są nuklearne.
  • Granice proste algebr nuklearnych są nuklearne. W szczególności, algebry AF są nuklearne.
  • Algebra operatorów ograniczonych na nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta[2]. Ponadto, gdy H jest nieskończenie wymiarową przestrzenią Hilberta, to nawet ℬ(H) ⊗min ℬ(H) ≠ ℬ(H) ⊗max ℬ(H)[3]. Ogólniej, dla algebry von Neumanna M następujące warunki są równoważne:
    1. M jest izomorficzna z algebrą postaci Mn1(A1) ⊕ ... ⊕ Mnk(Ak), gdzie n1, ..., nk są pewnymi liczbami naturalnymi oraz A1, ..., Ak są przemiennymi algebrami von Neumanna.
    2. M jest C*-algebrą nuklearną.
    3. M jest C*-algebrą dokładną.

Przypisy

edytuj
  1. M. Takesaki, On the Cross-norm of the direct product of C* -algebras, Tôhoku Math. J. 16 (1964), 111-122.
  2. S. Wassermann, On tensor products of certain group C*-algebras. J. Funct. Anal. 23 (1976) 239–254.
  3. M. Junge, G. Pisier, Bilinear forms on exact operator spaces and ℬ(H) ⊗ ℬ(H). Geometric and Funct. Anal. 5 (1995) 329–363