Algebra von Neumanna

Algebra von Neumanna (albo W*-algebra) – *-podalgebra C*-algebry operatorów ograniczonych ${\mathcal {B}}(H)$ na pewnej przestrzeni Hilberta $H,$ która jest domknięta w słabej topologii operatorowej. Domkniętość w słabej topologii operatorowej gwarantuje również domkniętość względem normy w ${\mathcal {B}}(H),$ a więc każda algebra von Neumanna jest, w szczególności, C*-algebrą.

Teoria algebr von Neumanna zapoczątkowana została z końcem lat dwudziestych XX wieku przez Johna von Neumanna i Francisa Murraya^[1]^[2]^[3]^[4]^[5] (używali oni nazwy pierścienie operatorowe) i motywowana była potrzebą formalizacji języka mechaniki kwantowej^[6]. Nazwa algebra von Neumanna pojawia się po raz pierwszy w książce Dixmiera^[7] jednak on sam przypisuje ją Dieudonnému^[8]. W literaturze nazwa ta była używana wymiennie z nazwą W*-algebra (od ang. weakly closed *-algebra). Niektórzy autorzy (np. Takesaki) dokonują następującego rozróżnienia nazywając W*-algebrą C*-algebrę $A,$ która maja wierną (różnowartościową) reprezentację $(\pi ,H)$ na przestrzeni Hilberta $H$ o tej własności, iż obraz $\pi (A)\subseteq {\mathcal {B}}(H)$ jest algebrą von Neumanna (w zdefiniowanym wyżej sensie).

Podstawowe własności

Każda algebra von Neumanna ma jedynkę.
Domknięta kula jednostkowa algebry von Neumanna jest zwarta w słabej topologii operatorowej.
Algebra von Neumanna jest ośrodkowa względem normy wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończenie wymiarowa.
Każda nieskończenie wymiarowa algebra von Neumanna zawiera nieskończenie wymiarową podalgebrę przemienną, która jest również algebrą von Neumanna.

Twierdzenie von Neumanna o drugim komutancie

Mimo iż definicja algebry von Neumanna używa pojęcia słabej topologii operatorowej, jest ona równoważna definicji czysto algebraicznej. Niech $H$ będzie przestrzenią Hilberta. Dla danego podzbioru $A\subseteq {\mathcal {B}}(H)$ symbol $A'$ oznacza komutant zbioru $A,$ tj. zbiór $\{x\in {\mathcal {B}}(H):\forall a\in A(xa=ax)\}.$ Analogicznie, $A''$ oznacza drugi komutant zbioru $A,$ tj. komutant komutanta $A'.$

Niech $M$ będzie pod-*-algebrą ${\mathcal {B}}(H)$ zawierającą operator identyczności $I.$ Wówczas następujące warunki są równoważne:

$M=M'';$
$M$ jest domknięta w słabej topologii operatorowej (tj. $M$ jest algebrą von Neumanna);
$M$ jest domknięta w mocnej topologii operatorowej;
$M$ jest domknięta w topologii ultrasłabej,

przy czym topologia ultrasłaba to topologia *-słaba pochodząca z dualności $\mathbf {N} (H){\text{*}}={\mathcal {B}}(H),$ gdzie $\mathbf {N} (H)$ oznacza przestrzeń Banacha operatorów nuklearnych (śladowych) na $H.$

Różni autorzy używają wymiennie wymienionych wyżej warunków do zdefiniowania pojęcia algebry von Neumanna.

Przykłady

Każda skończenie wymiarowa C*-algebra oraz algebra operatorów ${\mathcal {B}}(H)$ na dowolnej przestrzeni Hilberta $H$ są naturalnymi przykładami algebr von Neumanna.
Niech $\mu$ będzie miarą lokalizowalną (a więc, na przykład, miarą $\sigma$ -skończoną) na przestrzeni mierzalnej $X.$ Wówczas przestrzeń H = L₂(μ) jest przestrzenią Hilberta. Na przestrzeni tej działają w naturalny sposób operatory mnożenia przez funkcje z $L_{\infty }(\mu ),$ tj. każdej funkcji $f\in L_{\infty }(\mu )$ odpowiada operator (ograniczony) $T_{f}\in {\mathcal {B}}(L_{2}(\mu ))$ dany wzorem $T_{f}g=fg.$ Rodzina wszystkich operatorów mnożenia $T_{f}$ jest przemienną podalgebrą ${\mathcal {B}}(L_{2}(\mu )),$ która jest algebrą von Neumanna (w ten sposób utożsamia się algebrę $L_{\infty }(\mu )$ z algebrą operatorów). Można udowodnić, że każda przemienna algebra von Neumanna jest postaci $L_{\infty }(\mu )$ dla pewnej miary lokalizowalnej $\mu .$
Dla dowolnej C*-algebry $A\subseteq {\mathcal {B}}(H)$ jej drugi komutant $A''$ jest algebrą von Neumanna.
Jeżeli $A$ jest (być może abstrakcyjną) C*-algebrą, to jej druga przestrzeń sprzężona $A{\text{**}}$ (wyposażona w iloczyn Arensa; C*-algebry są regularne w sensie Arensa) jest *-izomorficzna z algebrą von Neumanna. Algebra $A{\text{**}}$ jest uniwersalną algebrą von Neumanna dla $A$ w następującym sensie: Niech $(\pi ,H)$ będzie reprezentacją $A$ na przestrzeni Hilberta $H$ oraz niech $M(\pi )$ oznacza algebrę von Neumanna $\pi (A)''.$ Wówczas istnieje dokładnie jedno przekształcenie liniowe $\Pi {:}$ $A{\text{**}}\to M(\pi )$ o następujących własnościach: $\pi =\Pi \kappa ,$ gdzie $\kappa {:}$ $A\to A{\text{**}}$ jest kanonicznym zanurzeniem $A$ w $A{\text{**}};$ $\Pi$ jest $\sigma (A{\text{**}},A{\text{*}})$ / $\sigma$ -weak ciągłe; $\Pi (B_{A{\text{**}}})=B_{M(\pi )}.$ W szczególności, jeżeli $(\pi ,H)$ jest uniwersalną reprezentacją algebry $A$ (tj. sumą prostą po wszystkich GNS-reprezentacjach pochodzących od stanów na $A$ ), to $A{\text{**}}$ jest *-izomorficzna z $\pi (A)''.$
Hiperskończony faktor typu II₁ $R.$

Typy

Algebry von Neumanna dzielą się na trzy zasadnicze typy.

Typ I: $M$ jest typu I, gdy jest izomorficzna z algebrą postaci

\textstyle \prod _{j\in J}A_{j}\,{\overline {\otimes }}\,{\mathcal {B}}(H_{j}),

gdzie dla każdego

j

algebra

A_{j}

jest przemienną algebrą von Neumanna oraz

H_{j}

jest pewną przestrzenią Hilberta

(j\in J).

Typ II₁: $M$ jest typu II₁, gdy nie da się jej rozłożyć na sumę algebr spośród których co najmniej jedna jest typu I oraz dla każdego $0<x\in M$ istnieje taki normalny śladowy stan $\phi \in M{\text{*}},$ że $\phi (x)>0.$
Typ ${\text{II}}_{\infty }{:}$ $M$ jest typu ${\text{II}}_{\infty },$ gdy nie da się jej rozłożyć na sumę algebr spośród których co najmniej jedna jest typu I bądź II₁ oraz istnieje rosnąca sieć rzutów $(p_{i})\subset M,$ zbieżna do $1_{M}$ w mocnej topologii operatorowej, o tej własności, że dla każdego $i$ algebra $p_{i}Mp_{i}$ jest typu II₁.
Typ III: $M$ jest typu III, gdy nie jest typu I, II₁ ani typ ${\text{II}}_{\infty }.$

Każda algebra von Neumanna $M$ rozkłada się na sumę

M=M_{\mathrm {I} }\oplus M_{\mathrm {II} _{1}}\oplus M_{\mathrm {II} _{\infty }}\oplus M_{\mathrm {III} },

gdzie każdy z (być może zerowych) jest takiego typu, jaki wskazany jest w indeksie dolnym.

Przypisy

↑ J. von Neumann, Zur Theorie der unbeschränkten Matrizen, „J. Reine Angew Math”. vol. 161 (1929) 208–236.
↑ J. von Neumann, On a certain topology for rings of operators, „Ann. of Math.” (2) 37 (1936), no. 1, 111–115.
↑ F.J. Murray, J. von Neumann, On rings of operators, „Ann. of Math.” (2) 37 (1936), no. 1, 116–229. MR 1503275, http://dx.doi.org/10.2307/1968693.
↑ F.J. Murray and J. von Neumann, On rings of operators. II, „Trans. Amer. Math. Soc.” 41 (1937), no. 2, 208–248. MR 1501899, http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-1937-1501899-4.
↑ J. von Neumann, On rings of operators, III, „Ann. of Math”. vol. 41 (1940) 94–161.
↑ J. von Neumann, On an algebraic generalization of the quantum mechanical formalism (Part I). „Rec. Math (Mat. Sbornik) N. S.” vol. 1 (1936) 415–484.
↑ J. Dixmier, Les algèbres d’opérateurs dans l’espace hilbertien: algèbres de von Neumann, Gauthier-Villars, 1957.
↑ M. Raussen, Interview with Jacques Dixmier. „Eur. Math. Soc. Newsl.” 72 (2009), 34–41.

Linki zewnętrzne

Von Neumann algebra (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].

[1] J. von Neumann, Zur Theorie der unbeschränkten Matrizen, „J. Reine Angew Math”. vol. 161 (1929) 208–236.

[2] J. von Neumann, On a certain topology for rings of operators, „Ann. of Math.” (2) 37 (1936), no. 1, 111–115.

[3] F.J. Murray, J. von Neumann, On rings of operators, „Ann. of Math.” (2) 37 (1936), no. 1, 116–229. MR 1503275, http://dx.doi.org/10.2307/1968693.

[4] F.J. Murray and J. von Neumann, On rings of operators. II, „Trans. Amer. Math. Soc.” 41 (1937), no. 2, 208–248. MR 1501899, http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-1937-1501899-4.

[5] J. von Neumann, On rings of operators, III, „Ann. of Math”. vol. 41 (1940) 94–161.

[6] J. von Neumann, On an algebraic generalization of the quantum mechanical formalism (Part I). „Rec. Math (Mat. Sbornik) N. S.” vol. 1 (1936) 415–484.

[7] J. Dixmier, Les algèbres d’opérateurs dans l’espace hilbertien: algèbres de von Neumann, Gauthier-Villars, 1957.

[8] M. Raussen, Interview with Jacques Dixmier. „Eur. Math. Soc. Newsl.” 72 (2009), 34–41.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]