Otwórz menu główne

Algebra von Neumanna (albo W*-algebra) – *-podalgebra C*-algebry operatorów ograniczonych na pewnej przestrzeni Hilberta która jest domknięta w słabej topologii operatorowej. Domkniętość w słabej topologii operatorowej gwarantuje również domkniętość względem normy w a więc każda algebra von Neumanna jest, w szczególności, C*-algebrą.

Teoria algebr von Neumanna zapoczątkowana została z końcem lat dwudziestych XX wieku przez Johna von Neumanna i Francisa Murraya[1][2][3][4][5] (używali oni nazwy pierścienie operatorowe) i motywowana była potrzebą formalizacji języka mechaniki kwantowej[6]. Nazwa algebra von Neumanna pojawia się po raz pierwszy w książce Dixmiera[7] jednak on sam przypisuje ją Dieudonnému[8]. W literaturze nazwa ta była używana wymiennie z nazwą W*-algebra (od ang. weakly closed *-algebra). Niektórzy autorzy (np. Takesaki) dokonują następującego rozróżnienia nazywając W*-algebrą C*-algebrę która maja wierną (różnowartościową) reprezentację na przestrzeni Hilberta o tej własności, iż obraz jest algebrą von Neumanna (w zdefiniowanym wyżej sensie).

Spis treści

Podstawowe własnościEdytuj

  • Każda algebra von Neumanna ma jedynkę.
  • Domknięta kula jednostkowa algebry von Neumanna jest zwarta w słabej topologii operatorowej.
  • Algebra von Neumanna jest ośrodkowa względem normy wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończenie wymiarowa.
  • Każda nieskończenie wymiarowa algebra von Neumanna zawiera nieskończenie wymiarową podalgebrę przemienną, która jest również algebrą von Neumanna.

Twierdzenie von Neumanna o drugim komutancieEdytuj

Mimo iż definicja algebry von Neumanna używa pojęcia słabej topologii operatorowej, jest ona równoważna definicji czysto algebraicznej. Niech   będzie przestrzenią Hilberta. Dla danego podzbioru   symbol   oznacza komutant zbioru   tj. zbiór   Analogicznie,   oznacza drugi komutant zbioru   tj. komutant komutanta  

Niech   będzie pod-*-algebrą   zawierającą operator identyczności   Wówczas następujące warunki są równoważne:

  1.  
  2.   jest domknięta w słabej topologii operatorowej (tj.   jest algebrą von Neumanna);
  3.   jest domknięta w mocnej topologii operatorowej;
  4.   jest domknięta w topologii ultrasłabej,

przy czym topologia ultrasłaba to topologia *-słaba pochodząca z dualności   gdzie   oznacza przestrzeń Banacha operatorów nuklearnych (śladowych) na  

Różni autorzy używają wymiennie wymienionych wyżej warunków do zdefiniowania pojęcia algebry von Neumanna.

PrzykładyEdytuj

  • Każda skończenie wymiarowa C*-algebra oraz algebra operatorów   na dowolnej przestrzeni Hilberta   są naturalnymi przykładami algebr von Neumanna.
  • Niech   będzie miarą lokalizowalną (a więc, na przykład, miarą  -skończoną) na przestrzeni mierzalnej   Wówczas przestrzeń H = L2(μ) jest przestrzenią Hilberta. Na przestrzeni tej działają w naturalny sposób operatory mnożenia przez funkcje z   tj. każdej funkcji   odpowiada operator (ograniczony)   dany wzorem   Rodzina wszystkich operatorów mnożenia   jest przemienną podalgebrą   która jest algebrą von Neumanna (w ten sposób utożsamia się algebrę   z algebrą operatorów). Można udowodnić, że każda przemienna algebra von Neumanna jest postaci   dla pewnej miary lokalizowalnej  
  • Dla dowolnej C*-algebry   jej drugi komutant   jest algebrą von Neumanna.
  • Jeżeli   jest (być może abstrakcyjną) C*-algebrą, to jej druga przestrzeń sprzężona   (wyposażona w iloczyn Arensa; C*-algebry są regularne w sensie Arensa) jest *-izomorficzna z algebrą von Neumanna. Algebra   jest uniwersalną algebrą von Neumanna dla   w następującym sensie: Niech   będzie reprezentacją   na przestrzeni Hilberta   oraz niech   oznacza algebrę von Neumanna   Wówczas istnieje dokładnie jedno przekształcenie liniowe     o następujących własnościach:   gdzie     jest kanonicznym zanurzeniem   w     jest   /  -weak ciągłe;   W szczególności, jeżeli   jest uniwersalną reprezentacją algebry   (tj. sumą prostą po wszystkich GNS-reprezentacjach pochodzących od stanów na  ), to   jest *-izomorficzna z  
  • Hiperskończony faktor typu II1  

TypyEdytuj

Algebry von Neumanna dzielą się na trzy zasadnicze typy.

  • Typ I:   jest typu I, gdy jest izomorficzna z algebrą postaci
 
gdzie dla każdego   algebra   jest przemienną algebrą von Neumanna oraz   jest pewną przestrzenią Hilberta  
  • Typ II1:   jest typu II1, gdy nie da się jej rozłożyć na sumę algebr spośród których co najmniej jedna jest typu I oraz dla każdego   istnieje taki normalny śladowy stan   że  
  • Typ     jest typu   gdy nie da się jej rozłożyć na sumę algebr spośród których co najmniej jedna jest typu I bądź II1 oraz istnieje rosnąca sieć rzutów   zbieżna do   w mocnej topologii operatorowej, o tej własności, że dla każdego   algebra   jest typu II1.
  • Typ III:   jest typu III, gdy nie jest typu I, II1 ani typ  

Każda algebra von Neumanna   rozkłada się na sumę

 

gdzie każdy z (być może zerowych) jest takiego typu, jaki wskazany jest w indeksie dolnym.

PrzypisyEdytuj

  1. J. von Neumann, Zur Theorie der unbeschränkten Matrizen, „J. Reine Angew Math”. vol. 161 (1929) 208–236.
  2. J. von Neumann, On a certain topology for rings of operators, „Ann. of Math.” (2) 37 (1936), no. 1, 111–115.
  3. F.J. Murray, J. von Neumann, On rings of operators, „Ann. of Math.” (2) 37 (1936), no. 1, 116–229. MR 1503275, http://dx.doi.org/10.2307/1968693.
  4. F.J. Murray and J. von Neumann, On rings of operators. II, „Trans. Amer. Math. Soc.41 (1937), no. 2, 208–248. MR 1501899, http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-1937-1501899-4.
  5. J. von Neumann, On rings of operators, III, „Ann. of Math”. vol. 41 (1940) 94–161.
  6. J. von Neumann, On an algebraic generalization of the quantum mechanical formalism (Part I). „Rec. Math (Mat. Sbornik) N. S.” vol. 1 (1936) 415–484.
  7. J. Dixmier, Les algèbres d’opérateurs dans l’espace hilbertien: algèbres de von Neumann, Gauthier-Villars, 1957.
  8. M. Raussen, Interview with Jacques Dixmier. „Eur. Math. Soc. Newsl.” 72 (2009), 34–41.