Algebra AF

Algebra AF (od ang. approximately finite-dimensional) – C*-algebra A zawierająca wstępujący ciąg skończenie wymiarowych pod-C*-algebr (B_n) (tj. B_n ⊆ B_{n + 1} dla każdej liczby naturalnej n), których suma jest gęsta w A, tzn.

$\textstyle A={\overline {\bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}}}.$

Intuicyjnie, AF algebry to C*-algebry, które lokalnie wyglądają jak skończenie wymiarowe C*-algebry. Algebry AF są ważną klasą C*-algebr ze względu na fakt, że są klasyfikowalne przez K-teorię.

Charakteryzacja algebr AF

Dla ośrodkowej C*-algebry A następujące warunki są równoważne:

1. A jest algebrą AF,
2. A jest granicą prostą ciągu skończenie wymiarowych C*-algebr,
3. dla każdego zbioru skończonego {a₁, a₂, ..., a_n} ⊆ A oraz każdego ε > 0 istnieje taka skończenie wymiarowa C*-algebra B ⊆ A oraz elementy {b₁, b₂, ..., b_n} ⊆ B, że

$\|a_{j}-b_{j}\|\leqslant \varepsilon \;\;(j\leqslant n).$

Podstawowe własności

Wprost z definicji, każda algebra AF jest ośrodkowa. Jako granice proste algebr skończenie wymiarowych, które są nuklearne, każda algebra AF jest również nuklearna. Podobnie, granice proste, ilorazy i iloczyny tensorowe algebr AF są również AF. Pod-C*-algebry algebr AF na ogół nie są AF, jednak dziedziczne podalgebry algebr AF są AF.

Brown udowodnił, że jeżeli

$0\to I\to A\to B\to 0$

jest krótkim ciągiem dokładnym C*-algebr oraz I i B są AF, to również A jest AF.

Jeżeli A i B są takimi dwiema C*-algebrami, że

$A\otimes {\mathcal {K}}\cong B\otimes {\mathcal {K}},$

gdzie K oznacza C*-algebrę operatorów zwartych na ℓ₂ oraz A jest AF, to B jest również AF. Rzeczywiście, A ⊗ K jest AF, a więc również B ⊗ K. Algebra B jest jednak izomorficzna z dziedziczną podalgebrą B ⊗ K, więc jest AF.

Przykłady

Algebra operatorów zwartych na ośrodkowej przestrzeni Hilberta

Najprostszym przykładem algebry AF jest algebra K operatorów zwartych na ℓ₂. Jest ona wyznaczona przez ciąg inkluzji

$M_{1}(\mathbb {C} )\subset M_{2}(\mathbb {C} )\subset M_{3}(\mathbb {C} )\subset M_{4}(\mathbb {C} )\ldots$

Diagramem Bratellego algebry operatorów zwartych jest więc

$1\to 2\to 3\to 4\to 5\to \ldots$

Także algebrę K¹ operatorów zwartych na ℓ₂ z dołączoną jedynką można uzyskać w podobny sposób rozważając ciąg

$B_{n}=\mathbb {C} \oplus M_{n}(\mathbb {C} )\;\;\;(n\geqslant 1)$

oraz *-homomorfizmy φ_n: B_n → B_n+1 określone wzorami

$x\oplus {\begin{pmatrix}x_{11}&\ldots &x_{1j}\\\vdots &\ddots &\vdots \\x_{j1}&\ldots &x_{jj}\end{pmatrix}}\;\;{\stackrel {\varphi _{n}}{\longmapsto }}\;\;x\oplus {\begin{pmatrix}x_{11}&\ldots &x_{1j}&0\\\vdots &\ddots &\vdots \vdots \\x_{j1}&\ldots &x_{jj}&0\\0&\ldots &0&x\end{pmatrix}}.$

Odpowiadającym diagramem Bratellego w tej sytuacji jest

${\begin{array}{c}1&\to &1&\to &1&\to &1&\to &1&\ldots \\&\searrow &&\searrow &&\searrow &&\searrow &&\\1&\to &2&\to &3&\to &4&\to &5&\ldots \end{array}}$

Algebra stowarzyszona z ciągiem Fibonacciego

Niech f₀, f₁, f₃, ... będzie ciągiem Fibonacciego, tj. f₀ = f₁ = 1 oraz f_n = f_n-1 + f_n-2 dla n ≥ 2. Niech ponadto

$A_{n}=M_{f_{n}}(\mathbb {C} )\oplus M_{f_{n-1}}(\mathbb {C} )\;\;\;(n\geqslant 1)$

oraz dane będą *-homomorfizmy φ_n: A_n → A_n+1 określone wzorami

$\varphi _{n}{\big (}(x,y){\big )}={\big (}{\begin{pmatrix}x&0\\0&y\end{pmatrix}},x{\big )}.$

Granica prosta ciągu (A_n, φ_n) jest algebrą AF, której grupa K₀ jest izomorficzna z

$\mathbb {Z} +\gamma \mathbb {Z} ,$

gdzie γ oznacza złoty podział.

Inną ważną klasą algebr AF są tzw. algebry UHF.

Bibliografia

• M. Rørdam, Classification of nuclear simple C*-algebras, w: Classification of nuclear C*-algebras. Entropy in operator algebras, Encyclopaedia Math. Sci. 126, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2002.