Dynamika (robotyka)

Dynamika (z gr. δύναμις ‘siła’) – zależność pomiędzy przyspieszeniem, prędkością i położeniem a strukturą robota.

Wzór na dynamikę uzyskuje się z równań Eulera-Lagrange’a oraz równań Hamiltona. Przyjmuje on postać:

$M(q){\ddot {q}}+C(q,{\dot {q}}){\dot {q}}+D(q)+T(q)=F+u,$ gdzie:

1. $q,{\dot {q}},{\ddot {q}}$ – to położenie, prędkość oraz przyspieszenie,
2. $M(q)$ – macierz bezwładności,
3. $C(q,{\dot {q}})$ – macierz sił odśrodkowych i Coriolisa,
4. $D(q)$ – macierz grawitacji,
5. $T(q)$ – macierz tarcia,
6. $F+u$ – siły działające na układ.

Najczęściej pomija się siły tarcia oraz przyjmuje, że prawa strona równania przyjmuje postać $u$ (w przypadku robotów mobilnych prawa strona równania przyjmuje postać $A^{T}(q)\lambda +B(q)u$).

Sztywny manipulator

Ponieważ energia potencjalna manipulatora pochodzi od oddziaływania pola grawitacyjnego w celu obliczenia energii ramienia i-tego (wraz z układem napędowym), można je potraktować jako masę punktową $m_{i}$ skupioną w środku masy ramienia. Wobec tego nasz model dynamiki manipulatora wygląda następująco:

$M(q){\ddot {q}}+C(q,{\dot {q}}){\dot {q}}+D(q)=u.$

Manipulator o elastycznych przegubach

W tym przypadku musimy uwzględnić fakt, że z każdym stopniem swobody jest związany układ napędowy co wprowadza nam elastyczność w przegubach. W takiej sytuacji, do opisu dynamiki manipulatora będą potrzebne współrzędne uogólnione $q_{1}$ określające położenia przegubów, oraz $q_{2},$ które definiują położenia wałów silników napędzających. Model manipulatora elastycznego przyjmuje następującą postać:

$M(q_{1}){\dot {q_{1}}}+C(q_{1},{\dot {q_{1}}}){\dot {q_{1}}}+D(q_{1})+K(q_{1}-q_{2})=0,$

$I{\ddot {q_{2}}}+K(q_{2}-q_{1})=u,$

gdzie:

$I$ – macierz bezwładności silników,

$K$ – macierz współczynników elastyczności (patrz: ruch harmoniczny).

Robot mobilny

Dynamika robota mobilnego przyjmuje postać:

$M(q){\ddot {q}}+C(q,{\dot {q}}){\dot {q}}+D(q)+T(q)=A^{T}(q)\lambda +B(q)u.$

Stosując wzór na ograniczenia Pfaffa

$A(q){\dot {q}}=0$

oraz bezdryfowy układ sterowania

${\dot {q}}=G(q)\eta ,$

możemy przekształcić wzór na prostszą postać. Przede wszystkim wyznaczamy drugą pochodną $q$ po $t,$ tj.

${\ddot {q}}={\dot {G}}(q)\eta +G(q){\dot {\eta }}.$

Następnie korzystając z faktu, iż macierz G(q) skonstruowana jest tak, aby $A(q)G(q)=0,$ wymnażamy równanie lewostronnie przez $G^{T}(q).$ Ostatecznie otrzymujemy:

${\tilde {M}}(q){\dot {\eta }}+{\tilde {C}}(q)\eta +{\tilde {D}}(q)={\tilde {B}}u.$

Tym samym dochodzimy do tego podobnego wzoru, co w przypadku manipulatorów sztywnych. Możemy dzięki temu stosować algorytmy sterowania.