Równania Hamiltona

Równania Hamiltona, kanoniczne równania ruchu – jedna z alternatywnych postaci zapisu równań ruchu, obok równań ruchu mechaniki Newtona oraz równań Eulera-Lagrange’a mechaniki w ujęciu Lagrange’a. Równania te wyrażają pochodne współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych układu fizycznego po czasie przy pomocy funkcji Hamiltona układu.

Definicja równań Hamiltona

Równania Hamiltona – układ równań opisujących zmiany w czasie współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych układu fizycznego wyrażonych przy pomocy funkcji Hamiltona

$\left\{{\begin{matrix}{\dot {p}}_{i}=-{\cfrac {\partial H}{\partial q_{i}}}\\[.5em]{\dot {q}}_{i}={\cfrac {\partial H}{\partial p_{i}}}\end{matrix}}\right.\quad i=1,\dots ,s$

gdzie:

$p_{i}$ – $i$-ty pęd uogólniony,

$q_{i}$ – $i$-ta współrzędna uogólniona,

$s$ – liczba stopni swobody układu,

$H=H(p_{1},\dots ,p_{s},q_{1},\dots ,q_{s},t)$ – funkcja Hamiltona układu.

Równania Hamiltona stanowią układ $2s$ równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu.

Równania Hamiltona wyrażone przez nawiasy Poissona

Przy zapisie z użyciem nawiasów Poissona układ ten wygląda bardziej symetrycznie

$\left\{{\begin{matrix}{\dot {p}}_{i}=\{p_{i},H\}\\[.5em]{\dot {q}}_{i}=\{q_{i},H\}\end{matrix}}\right.\quad i=1,\dots ,s$

Rozwiązania równań Hamiltona. Trajektoria układu

Rozwiązanie równań Hamiltona przy zadanych warunkach początkowych $\{p_{1}(0),\dots ,p_{s}(0),q_{1}(0),\dots ,q_{s}(0)\}$(lub brzegowych) daje zależności czasowe położeń $\{q_{1}(t),\dots ,q_{s}(t)\}$ i pędów uogólnionych $\{p_{1}(t),\dots ,p_{s}(t)\}$ od czasu. Punkt $\{p_{1}(t),\dots ,p_{s}(t),q_{1}(t),\dots ,q_{s}(t)\}$ kreśli w przestrzeni fazowej trajektorią układu.

Twierdzenie

Jeżeli układ fizyczny znajduje się w polu oddziaływań o potencjale skalarnym, np. ciecz porusza się w polu grawitacyjnym, to pęd cząstek układu jest proporcjonalny do ich prędkości ${\dot {p}}_{i}=m_{i}{\dot {q}}_{i}.$ Ponadto jeżeli równania ruchu cząstek cieczy są równaniami Hamiltona, to ciecz ta jest nieściśliwa, tzn. jej super-prędkość $({\dot {\boldsymbol {q}}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}}),{\dot {\boldsymbol {p}}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}}))$ ma znikającą dywergencję

$\nabla \cdot ({\dot {\boldsymbol {q}}},{\dot {\boldsymbol {p}}})=0,$

gdzie:

$\nabla \cdot ({\dot {\boldsymbol {q}}},{\dot {\boldsymbol {p}}})=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\dot {q_{i}}}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial {\dot {p_{i}}}}{\partial p_{i}}}\right).$

Zakładając, na wzór elektrodynamiki, istnienie skalarnego potencjału „wektorowego” $H,$ którego odpowiednik rotacji, jak permutacja gradientu z sygnaturą (jeden z wektorów prostopadłych do wektora całkowitego gradientu Hamiltonianu), zagwarantuje znikanie dywergencji podobnie jak w 3 wymiarach dla pól elektromagnetycznych, tzn. takiego, że

${\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}},$

${\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}.$

otrzymujemy z twierdzenia Schwartza o przemienności pochodnych cząstkowych

$\nabla \cdot ({\dot {\boldsymbol {q}}},{\dot {\boldsymbol {p}}})=\sum _{i}\left({\frac {\partial ^{2}H}{\partial q_{i}\partial p_{i}}}-{\frac {\partial ^{2}H}{\partial p_{i}\partial q_{i}}}\right)=0.$

Jak widać, także

$\nabla H\cdot \not \nabla H=\sum _{i}\left({\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\right)=0.$

jeśli zapiszemy równania Hamiltona symbolicznie w sposób skrócony:

$({\dot {\boldsymbol {q}}},{\dot {\boldsymbol {p}}})=\not \nabla H,$

co wyraża prostopadłość wektora prawej strony równań $\not \nabla H$ do gradientu Hamiltonianu $H.$

Przykład – oscylator harmoniczny

Hamiltonian jednowymiarowego oscylatora harmonicznego o jednostkowej masie i częstości dany jest przez:

$H={\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {x^{2}}{2}}.$

Przestrzeń fazowa $x,p$ jest więc dwuwymiarowa, tzn. jest płaszczyzną.

Z równań Hamiltona otrzymamy:

${\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial x}}=-x,$

${\dot {x}}={\frac {\partial H}{\partial p}}=p.$

Różniczkując drugie równanie po czasie i wstawiając do niego pierwsze, otrzymujemy równanie Newtona:

${\ddot {x}}=-x.$

Rozwiązaniem specjalnym tego równania jest funkcja

$x(t)=\mathrm {e} ^{\lambda t},$

przy czym $\lambda ^{2}=-1$ lub równoważnie $\lambda =\pm \mathrm {i} .$

Rozwiązanie musi być funkcją rzeczywistą – stąd $x(t)$ w ogólnym przypadku ma postać:

$x(t)=x(0)\cos t+C\sin t.$

Na podstawie pierwszego równania widać, że całkując powyższe równanie, otrzymamy pęd:

$p(t)=\int _{0}^{t}x(t)\mathrm {d} t=-x(0)\sin t+C\cos t=-x(0)\sin t+p(0)\cos t.$

Z powyższych rozwiązań otrzymamy

$p(t)^{2}+x(t)^{2}=x(0)^{2}+p(0)^{2}=const.$

Wynik ten przedstawia równanie parametryczne okręgu. Oznacza to, że punktu $[x(t),p(t)]$ porusza się w przestrzeni fazowej po okręgu z częstością równą częstości oscylatora.

Jeśli rozważymy zbiór wielu punktów o różnych warunkach początkowych $x(0),p(0)$ odpowiadający cieczy składającej się z cząstek wypełniających przestrzeń fazową z pewną gęstością początkowa i skoncentrujemy na jednym z nich, to ponieważ wszystkie punkty poruszają z taką sama częstością kołowa, to gęstość cieczy pozostanie stała mino jej ruchu. Oznacza to, że ciecz jest nieściśliwą.

W przypadku oscylatora harmonicznego własność ta oznacza, że tzw. funkcja Wignera (która wyraża gęstość pędu i położenia stanu kwantowego) jedynie się obraca, zachowując w czasie ten sam kształt.