Otwórz menu główne

Równania Hamiltona

Równania Hamiltona – jedna z alternatywnych postaci zapisu równań ruchu, obok równań ruchu mechaniki Newtona oraz równań Eulera-Lagrange’a mechaniki w ujęciu Lagrange’a. Równania te wyrażają pochodne współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych układu fizycznego po czasie przy pomocy funkcji Hamiltona układu.

Definicja równań HamiltonaEdytuj

Równania Hamiltonaukład równań opisujących zmiany w czasie współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych układu fizycznego wyrażonych przy pomocy funkcji Hamiltona

 

gdzie:

  -ty pęd uogólniony,
  -ta współrzędna uogólniona,
  – liczba stopni swobody układu,
  – funkcja Hamiltona układu.

Równania Hamiltona stanowią układ   równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu.

Równania Hamiltona wyrażone przez nawiasy PoissonaEdytuj

Przy zapisie z użyciem nawiasów Poissona układ ten wygląda bardziej symetrycznie

 

Rozwiązania równań Hamiltona. Trajektoria układuEdytuj

Rozwiązanie równań Hamiltona przy zadanych warunkach początkowych  (lub brzegowych) daje zależności czasowe położeń   i pędów uogólnionych   od czasu. Punkt   kreśli w przestrzeni fazowej trajektorią układu.

TwierdzenieEdytuj

Jeżeli układ fizyczny znajduje się w polu oddziaływań o potencjale skalarnym, np. ciecz porusza się w polu grawitacyjnym, to pęd cząstek układu jest proporcjonalny do ich prędkości   Ponadto jeżeli równania ruchu cząstek cieczy są równaniami Hamiltona, to ciecz ta jest nieściśliwa, tzn. jej super-prędkość   ma znikającą dywergencję

 

gdzie:

 

Zakładając, na wzór elektrodynamiki, istnienie skalarnego potencjału „wektorowego”   którego odpowiednik rotacji, jak permutacja gradientu z sygnaturą (jeden z wektorów prostopadłych do wektora całkowitego gradientu Hamiltonianu), zagwarantuje znikanie dywergencji podobnie jak w 3 wymiarach dla pól elektromagnetycznych, tzn. takiego, że

 
 

otrzymujemy z twierdzenia Schwartza o przemienności pochodnych cząstkowych

 

Jak widać, także

 

jeśli zapiszemy równania Hamiltona symbolicznie w sposób skrócony:

 

co wyraża prostopadłość wektora prawej strony równań   do gradientu Hamiltonianu  

Przykład – oscylator harmonicznyEdytuj

Hamiltonian jednowymiarowego oscylatora harmonicznego o jednostkowej masie i częstości dany jest przez:

 

Przestrzeń fazowa   jest więc dwuwymiarowa, tzn. jest płaszczyzną.

Z równań Hamiltona otrzymamy:

 
 

Różniczkując drugie równanie po czasie i wstawiając do niego pierwsze, otrzymujemy równanie Newtona:

 

Rozwiązaniem specjalnym tego równania jest funkcja

 

przy czym   lub równoważnie  

Rozwiązanie musi być funkcją rzeczywistą – stąd   w ogólnym przypadku ma postać:

 

Na podstawie pierwszego równania widać, że całkując powyższe równanie, otrzymamy pęd:

 

Z powyższych rozwiązań otrzymamy

 

Wynik ten przedstawia równanie parametryczne okręgu. Oznacza to, że punktu   porusza się w przestrzeni fazowej po okręgu z częstością równą częstości oscylatora.

Jeśli rozważymy zbiór wielu punktów o różnych warunkach początkowych   odpowiadający cieczy składającej się z cząstek wypełniających przestrzeń fazową z pewną gęstością początkowa i skoncentrujemy na jednym z nich, to ponieważ wszystkie punkty poruszają z taką sama częstością kołowa, to gęstość cieczy pozostanie stała mino jej ruchu. Oznacza to, że ciecz jest nieściśliwą.

W przypadku oscylatora harmonicznego własność ta oznacza, że tzw. funkcja Wignera (która wyraża gęstość pędu i położenia stanu kwantowego) jedynie się obraca, zachowując w czasie ten sam kształt.